[論文レビュー] Complex optimal transport and the pluripotential theory of Kähler-Ricci solitons

Robert J. Berman, David Witt Nyström|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 43被引用数 54

ひとこと要約

本稿は、極小化された複素射影多様体上の $T$-不変計量に対して一般化された Monge-Ampère 測度 $MA_g(\phi)$ を用いた複雑な最適輸送枠組みを導入し、擬正則理論と最適輸送を統合する。特に対称性の下で特異 Kähler-Ricci 溶媒の一意性が自己同型群を除いて確立され、その存在が修正された K-安定性と関連づけられ、トーリックおよび非トーリックな状況の両方において Donaldson の離散化プログラムを拡張する。

ABSTRACT

Let (X,L) be a (semi-) polarized complex projective variety and T a real torus acting holomorphically on X with moment polytope P. Given a probability density g on P we introduce a new type of Monge-Ampere measure on X, defined for singular T-invariant metrics on the line bundle L, generalizing the ordinary Monge-Ampere of global pluripotential theory, which corresponds to the case when T is trivial (or g=1). In the opposite extreme case when T has maximal rank, i.e. (X,L,T) is a toric variety, the solution of the corresponding Monge-Ampere equation with right hand side μcorresponds to the convex Kantorovich potential for the optimal transport map in the Monge-Kantorovich transport problem betweeen μand g (for a quadratic cost function). Accordingly, our general setting can be seen as a complex version of optimal transport theory. Our main complex geometric applications concern the pluripotential study of singular (shrinking) Kahler-Ricci solitons. In particular, we establish the uniqueness of such solitons, modulo automorphisms, and explore their relation to a notion of modified K-stability inspired by the work of Tian-Zhu. The quantization of this setup, in the sense of Donaldson, is also studied.

研究の動機と目的

• 極小化された多様体上の $T$-不変計量に対して一般化された Monge-Ampère 測度 $MA_g(\phi)$ を定義し、古典的擬正則理論を拡張すること。
• トーリックな状況において、$MA_g(\phi)$ を Kantorovich 潜在関数と関連づけることで、最適輸送の複素幾何的類似を確立すること。
• 擬正則および変分法を用いて、自己同型群を除く特異 Kähler-Ricci 溶媒の一意性を証明すること。
• Kähler-Ricci 溶媒の存在を Tian-Zhu に由来する修正された K-安定性の概念と関連づけること。
• Donaldson の意味での設定の離散化を研究し、量子化された関数の半古典的漸近挙動を確立すること。

提案手法

• トーリック作用を伴う多様体 $X$ 上の $T$-不変計量 $\phi$ に対して、重み関数 $g$ を持つ $g$-重み付き Monge-Ampère 測度 $MA_g(\phi)$ を定義し、標準的な複素 Monge-Ampère 演算子を一般化する。
• 正の電流の非擬正則積を用いて、特異計量に対しても $MA_g(\phi)$ を定義し、擬正則理論の枠組みを拡張する。
• トーリックな状況において、$MA_g(\phi) = \mu$ の解が、二次コスト関数を持つ最適輸送写像の Kantorovich 潜在関数に対応することを確立する。
• 関数 $\mathcal{D}_g(\phi)$ に変分法を適用し、その適切性と強凸性を証明することで、最小化子の存在と一意性を保証する。
• Fubini-Study 写像と Hilbert 写像を用いて、Kähler 計量 $\phi_k = \mathrm{FS}(H_k)$ を量子化された設定と関連づけ、半古典的解析を可能にする。
• 漸近展開と一様収束を用いて、量子化された関数 $\mathcal{D}_g^{(k)}(H_k)$ と古典的関数 $\mathcal{D}_g(\phi)$ を結びつけ、最小化子の収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック作用が存在する際、ミラーポリトープ $P$ 上の重み関数 $g$ を組み込んだ古典的複素 Monge-Ampère 方程式はどのように一般化できるか？
• RQ2 一般化された Monge-Ampère 測度 $MA_g(\phi)$ は、特にトーリックな状況において、複素幾何的最適輸送に対応するどのような意味を持つのか？
• RQ3 修正された K-安定性は、特異 Kähler-Ricci 溶媒の存在と一意性において果たす役割は何か？
• RQ4 Kähler-Ricci 溶媒問題の量子化は半古典的極限においてどのように振る舞い、関連する関数の収束はどのような性質を持つのか？
• RQ5 自己同型群を除いて、関数 $\mathcal{D}_g(\phi)$ が適切かつ厳密に強凸であることを証明できるか。これにより、最小化子の一意性が保証される。

主な発見

• 特異な $T$-不変計量 $\phi$ に対しても、$L$ 上で一般化された Monge-Ampère 測度 $MA_g(\phi)$ が適切に定義され、古典的擬正則理論が拡張される。
• トーリックな状況では、$MA_g(\phi) = \mu$ の解が、二次コスト関数を持つ最適輸送写像の Kantorovich 潜在関数に対応し、複素幾何と最適輸送を結びつける。
• $\mathcal{D}_g(\phi)$ は自己同型群を除いて厳密に強凸であり、最小化子の一意性が保証され、それらは Kähler-Ricci 溶媒に対応する。
• 量子化された関数 $\mathcal{D}_g^{(k)}(H_k)$ の最小化子は、$k \to \infty$ のとき $L^1$ 収束およびエネルギー収束の意味で、$\mathcal{D}_g(\phi)$ の最小化子に収束する。これにより、半古典的収束が確立される。
• 高次の修正 Futaki 不変量が消えるという仮定の下で、Kähler-Ricci 溶媒の存在は、$\mathcal{D}_g(\phi)$ の自己同型群を除いた適切性と同値である。
• 関数 $\mathcal{D}_g(\phi)$ の厳密な強凸性と適切性を用いて、自己同型群を除く特異 Kähler-Ricci 溶媒の一意性が確立される。