[論文レビュー] Computing the Degenerate Ground Space of Gapped Spin Chains in Polynomial Time

Christopher T. Chubb, Steven T. Flammia|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Matrix Theory and Algorithms被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ギャップを持つ1次元スピン鎖の簡約化された基底状態射影子を近似する正規直交基底を多項式時間で計算するアルゴリズムを提示する。Landau-Vazirani-Vidickフレームワークに基づき、半鎖における局所的区別可能性を組み込むことで非簡約状態の拡張を達成し、系のサイズに多項式的に依存する実行時間と縮重度に指数的に依存する誤差を実現する。誤差は任意のシュレーディンガーノルムで逆多項式的である。

ABSTRACT

Given a gapped Hamiltonian of a spin chain, we give a polynomial-time algorithm for finding the degenerate ground space projector. The output is an orthonormal set of matrix product states that approximate the true ground space projector up to an inverse polynomial error in any Schatten norm, with a runtime exponential in the degeneracy. Our algorithm is an extension of the recent algorithm of Landau, Vazirani, and Vidick for the nondegenerate case, and it includes the recent improvements due to Huang. The main new idea is to incorporate the local distinguishability of ground states on the half-chain to ensure that the algorithm returns a complete set of global ground states.

研究の動機と目的

• ギャップを持つ1次元スピン鎖の簡約化された基底状態空間を厳密かつ効率的に近似するアルゴリズムの開発。
• Landau, Vazirani, および Vidickの非簡約状態の多項式時間アルゴリズムを簡約状態に拡張すること。
• 半鎖における局所的区別可能性を活用することで、グローバル基底状態の完全な正規直交基底を返すようにすること。
• 系のサイズに多項式的依存を維持しながら、定数の縮重度とスペクトルギャップを扱えるようにすること。
• シュレーディンガーノルム（フロベニウスノルムおよびトレースノルムを含む）における近似誤差の理論的保証を提供すること。

提案手法

• 非簡約状態のLVVアルゴリズムにおける有効集合構築を、半鎖における基底状態の局所的区別可能性を組み込むことで簡約状態に拡張する。
• エネルギー制約と見せかけの重なり最小化を用いて、近似精度を保ちつつ有効集合を縮小する。
• 近似基底状態を行列積状態（MPS）表現で用い、多項式的バインド次元を保証する。
• 行列積演算子（MPO）としての多項式的バインド次元を有する最小ランク射影子である状態ベースの近似基底状態射影子（AGSP）を構築する。
• 半鎖から全鎖へと有効集合を段階的に拡大する多重パス反復的手法を用い、各段階で少数の候補状態を維持する。
• 1次元の面積則とスペクトルギャップに依存し、基底状態が低バインド次元MPSでよく近似可能であることを保証することで、計算の効率性を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギャップを持つ非簡約状態のスピン鎖に対する多項式時間基底状態近似アルゴリズムを、簡約状態に拡張できるか？
• RQ2 半鎖における基底状態の局所的区別可能性をどのように活用すれば、グローバル基底状態の完全な正規直交基底を回復できるか？
• RQ3 簡約状態における近似基底状態射影子（AGSP）の最小ランクとバインド次元は何か？また、それを効率的に構築できるか？
• RQ4 非簡約状態と比較して、簡約状態設定における実行時間は縮重度とスペクトルギャップにどのように依存するか？
• RQ5 正確な縮重度 g の事前知識がなくても、アルゴリズムが頑健に動作するようにできるか？（ただし g は定数と仮定）

主な発見

• アルゴリズムは、フロベニウスノルム誤差が η 以下であるような正規直交行列積状態の集合を構築し、η は系のサイズ n に対して逆多項式的である。
• 実行時間は n に対して多項式的であり、具体的には n^O(1) であり、縮重度 g に対して指数的依存を示すが、g は定数と仮定されている。
• トレースノルムにおける誤差は、フロベニウスノルム誤差の O(√g) 倍以内に抑えられ、g が定数のため逆多項式的のまま維持される。
• 半鎖における局所的区別可能性を強制することで、基底状態基底の完全性が保証され、これにより先行研究とは一線を画す主な革新点である。
• アルゴリズムは未知の縮重度に対しても頑健である：g = O(1) であることを前提としており、明示的な上界は不要である。これは一部の代替手法とは対照的である。
• 得られるAGSPは、MPOとしての多項式的バインド次元を有する最小ランク射影子であり、MPO観測量の期待値推定を効率的に行える。