[論文レビュー] Congruence subgroups and rational conformal field theory

Antoine Coste, Terry Gannon|ArXiv.org|Sep 15, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、有理的 conformal field theory (RCFT) の特徴関数が、SL₂(ℤ) の合同部分群の下でモジュラー形式として変換するかどうかを調査する。T行列の位数が奇数である場合、RCFTの特徴関数はある Γ(N) に対してモジュラーであることを証明する。偶数位数のT行列の場合には、ガロア対称性に基づくテストを提示し、それが満たされるならば合同性が保証される。主な貢献は、RCFTのモジュラーデータの代数的構造と合同部分群の挙動との間の基準を結びつけることである。

ABSTRACT

We address here the question of whether the characters of an RCFT are modular functions for some level N, i.e. whether the representation of the modular group SL_2(Z) coming from any RCFT is trivial on some congruence subgroup. We prove that if the matrix T, associated to $(\matrix{1&1\cr 0&1})\in{ m SL}_2(\Z)$, has ODD order, then this must be so. When the order of T is even, we present a simple test which if satisfied -- and we conjecture it always will be -- implies that the characters for that RCFT will also be level N. We use this to explain three curious observations in RCFT made by various authors.

研究の動機と目的

• 有理的 conformal field theory (RCFT) のモジュラー表現が、SL₂(ℤ) の合同部分群に因数分解するかどうかを特定すること。
• すべてのRCFTが合同性を持つという長年の予想（すなわち、その特徴関数がある Γ(N) に対してモジュラー関数である）を解決すること。
• T行列の位数が偶数であるRCFTにおいて、合同性を実用的にテストする方法を提供すること。
• 合同部分群とガロア対称性の理論を用いて、RCFTの文献における3つの経験的観察を説明すること。
• RCFTにおけるモジュラーデータ、ガロア作用、および合同部分群構造の間の関係をより深く理解すること。

提案手法

• RCFTの特徴関数に関連するSL₂(ℤ)のモジュラー表現 ρ を用い、S行列とT行列の作用によって定義される、一次元の主要場の空間における作用を考察する。
• ヴェルリンデの公式を用いてS行列と融合規則の関係を確立し、RCFTデータにおけるガロア作用を分析する。
• 特徴関数とT行列成分のガロア対称性を用いて、合同性の必要十分条件を導出する。
• 特に、SL₂(N) 及びその関係式を用いた、合同部分群の理論とその表現を適用する。
• T行列の位数が奇数である場合、ガロア共役とノルム合同式を用いて、表現が合同部分群に因数分解することを示す。
• 偶数位数のT行列の場合には、ガロア自己同型がT行列成分に与える影響と、条件 T_{σ(a),σ(a)} = σ²(T_{aa}) を満たすかどうかに基づくテストを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T行列にどのような条件下で、有理的 conformal field theory が、ある合同部分群 Γ(N) に対してモジュラーな特徴関数を持つのか？
• RQ2 T行列の位数が奇数である場合、モジュラー表現が合同部分群に因数分解するという合同性が保証されるか？
• RQ3 T行列の位数が偶数であるRCFTについて、その合同性を確認するための実用的テストを定式化できるか？
• RQ4 なぜ特定のRCFT、例えばアフィン Kac-Moody理論やオルビフォールド理論などは、常に合同性を示すのか？
• RQ5 モジュラーデータのガロア対称性は、モジュラー表現の構造とそのSL₂(ℤ)における像にどのような制約を与えるか？

主な発見

• RCFTにおけるT行列の位数が奇数である場合、モジュラー表現はある合同部分群 Γ(N) に因数分解するため、特徴関数はあるレベルNに対してモジュラーである。
• T行列の位数が偶数であるRCFTでは、本稿がガロア対称性に基づくテストを提示する：ガロア共役が T_{σ(a),σ(a)} = σ²(T_{aa}) を満たすならば、合同性が成立する。
• このテストは常に成立すると予想されており、すべてのRCFTが合同性を満たすことを示唆しており、予想1を支持する。
• 著者らは、RCFTの文献に見られる3つの経験的観察（例えば、代数的整数のフーリエ係数を持つモジュラー関数の出現）を、合同性の結果として説明する。
• 本稿は、自己同型を用いたSL₂(N)の新しい表現を提供し、従来の研究に比べて関係式の数を減らすことで、合同部分群のテストを簡略化する。
• 結果は、アフィン Kac-Moody代数およびオルビフォールドRCFTに適用され、両者ともガロアテストにより合同性が満たされていることが示され、既知の結果と整合的である。