[論文レビュー] On Algebraic Singularities, Finite Graphs and D-Brane Gauge Theories: A String Theoretic Perspective

Yang‐Hui He|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 244被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、D-braneプローブを介して、代数的特異点、有限グラフ、4次元超対称ゲージ理論を結びつける包括的な超弦理論的枠組みを確立する。特異点のクレパント解消とクイバーゲージ理論、T双対性を組み合わせることで、ゲージ理論と幾何学の間の正確な双対性を示し、D-braneのダイナミクスと鏡映性を組み込んだ一般化された McKay の対応を実現する。

ABSTRACT

In this writing we shall address certain beautiful inter-relations between the construction of 4-dimensional supersymmetric gauge theories and resolution of algebraic singularities, from the perspective of String Theory. We review in some detail the requisite background in both the mathematics, such as orbifolds, symplectic quotients and quiver representations, as well as the physics, such as gauged linear sigma models, geometrical engineering, Hanany-Witten setups and D-brane probes. We investigate aspects of world-volume gauge dynamics using D-brane resolutions of various Calabi-Yau singularities, notably Gorenstein quotients and toric singularities. Attention will be paid to the general methodology of constructing gauge theories for these singular backgrounds, with and without the presence of the NS-NS B-field, as well as the T-duals to brane setups and branes wrapping cycles in the mirror geometry. Applications of such diverse and elegant mathematics as crepant resolution of algebraic singularities, representation of finite groups and finite graphs, modular invariants of affine Lie algebras, etc. will naturally arise. Various viewpoints and generalisations of McKay's Correspondence will also be considered. The present work is a transcription of excerpts from the first three volumes of the author's PhD thesis which was written under the direction of Prof. A. Hanany - to whom he is much indebted - at the Centre for Theoretical Physics of MIT, and which, at the suggestion of friends, he posts to the ArXiv pro hac vice; it is his sincerest wish that the ensuing pages might be of some small use to the beginning student.

研究の動機と目的

• D-braneプローブを用いて、代数的特異点と4次元超対称ゲージ理論との間の対応を体系的にマッピングすること。
• 特異点を解消する過程で物理的整合性を保つために、クレパント解消が果たす役割を明確にすること。
• 有限グラフ、クイバー表現、D-braneのダイナミクスを組み込んだことで、McKay の対応を一般化すること。
• NS-NS B場とT双対性が、ブレーン配置とゲージ理論の双対性に与える影響を調査すること。
• D-braneプローブ理論の文脈において、幾何的エンジニアリング、Hanany-Witten の設定、鏡映性を統合すること。

提案手法

• Calabi-Yau 特異点上での D-brane プローブを用いて、幾何的データからクイバーゲージ理論を導出する。
• 位相的転移と特異点の解消を記述するために、ゲージ線形セルフモデル（GLSM）を適用する。
• 得られた理論のゲージ群と物質内容を、クイバー表現とディンキン図を用いて記述する。
• シンプレクティック商の構成を用いて、Gorenstein商特異点のクレパント解消をモデル化する。
• T双対性を適用して、異なる双対幾何におけるブレーン配置を関連付け、鏡映性を含む双対性を明らかにする。
• アフィンリー代数のモジュラー不変量を活用して、整合的なコンactification と双対性を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的特異点上での D-brane プローブは、特定のゲージ群と物質表現を持つクイバーゲージ理論をどのように実現するか？
• RQ2 特異幾何と滑らかなゲージ理論の間の整合性を保つために、クレパント解消が果たす正確な役割は何か？
• RQ3 NS-NS B場の導入が、ゲージ理論と特異幾何の間の双対性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 T双対性と鏡映性は、双対な Calabi-Yau 多様体間のブレーン配置をどのように関連付けるか？
• RQ5 有限グラフ、クイバー表現、超弦的双対性を組み込んだ場合、McKay の対応はどのように一般化できるか？

主な発見

• Gorenstein商特異点のクレパント解消は、D-braneプローブによって、一貫性のある4次元 N=1 超対称ゲージ理論を生じさせる。
• 得られたゲージ理論のクイバー図は、特異空間の解消グラフを正確に符号化しており、McKay の元来の対応を一般化している。
• NS-NS B場の存在は、D-braneの電荷格子を変更し、離散的ねじれを誘発し、ゲージ理論にねじれセクターを生じさせる。
• T双対性は、特異点上での D-brane の配置を、解消された幾何における双対なブレーン設定に写像し、隠れた双対性を明らかにする。
• 鏡映性は、ある Calabi-Yau 多様体上での D-brane プローブを、その双対多様体におけるサイクルを巻くブレーンに関連づけ、S双対性によって関連するゲージ理論を示す。
• 有限グラフとクイバー表現は、トーリックおよび非トーリック特異点から生じるゲージ理論を完全に分類可能である。