[論文レビュー] Congruences involving binomial coefficients and Lucas sequences

Zhi‐Wei Sun|ArXiv.org|Dec 7, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、代数的整数論およびヤコビ記号の性質を用いて、素数のべきを法とする中心二項係数とルーカス数列の間の新しい超合同式を確立する。特定の重み付き二項係数およびルーカス数列の和が、$ p $ もしくは $ p^2 $ を法として0に収束することを証明しており、これは $ p $ の合同条件に依存する。特に $ p = x^2 + 2y^2 $ または $ p = x^2 + 3y^2 $ の場合に明示的な公式が得られる。これらの結果は既知の超合同式を一般化し、より広い族の数列および重みへと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we obtain some congruences involving central binomial coefficients and Lucas sequences. For example, we show that if p>5 is a prime then $\sum_{k=0}^{p-1}F_k*binom(2k,k)/12^k$ is congruent to 0,1,-1 modulo p according as p=1,4 (mod 5), p=13,17 (mod 30), and p=7,23 (mod 30) respectively, where {F_n} is the Fibonacci sequence. We also raise several conjectures.

研究の動機と目的

• 中心二項係数とルーカス数列に関連する既知の超合同式を、新たな数列族および重みへと一般化すること。
• ルーカス数列 $ u_n(A,B) $、$ v_n(A,B) $ と中心二項係数 $ \binom{2k}{k}^h $ の間の、合同算術における相互作用を調査すること。
• ルーカス数列および二項係数を含む重み付き和が、リーマン記号の条件に従って $ p $ または $ p^2 $ を法として0に収束することを確立すること。
• ペル数、フィボナッチ数、ルーカス数、その他のルーカス数列と二項係数を含む和について、正確な $ p^2 $-合同式に関する予想を提示・裏付けること。
• 代数的整数論および指標和を用いて、ロドリゲス＝ヴィレガスおよびモルトエンソンの結果を統一・拡張すること。

提案手法

• 整数パrameter $ A, B $ を持つ線形再帰で定義されるルーカス数列 $ u_n(A,B) $ および $ v_n(A,B) $ の使用。特徴方程式 $ x^2 - Ax + B = 0 $ の根による閉形式表現。
• Legendre記号 $ \big(\frac{\bullet}{p^a}\big) $ を用いて、$ A+\rho $ および $ 2m $ が $ p^a $ を法として平方剰余かどうかで場合分けを行う。ここで $ \rho = \frac{1}{2}\big(A + \big(A^2 - 4m^2\big)^{1/2}\big) $ である。
• 和に重みを付けるために、乗法的指標としてヤコビ記号 $ \big(\frac{k}{3}\big) $ および $ \big(\frac{k}{5}\big) $ を用い、指標の直交性により合同式解析を可能にする。
• 生成関数およびモジュラー形式（特に $ q $-積で定義される $ a(n) $ のような数列）の使用により、和をモジュラー形式と結びつけ、合同式を導出する。
• $ p $-進解析およびグロス＝コブリッツの公式の既知の結果を活用し、導出された合同式を正当化・動機づける。
• 数値的証拠および代数的整数論に基づいた予想の提示。特に $ p = x^2 + 2y^2 $ や $ p = x^2 + 3y^2 $ の場合に、$ x $、$ y $、$ p/x $ を含む明示的な $ p^2 $-合同式を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ A, m, p, a $ がどのような条件下で、和 $ \textstyle\binom{2k}{k}^h u_k(A, m^2) / (m^k (-4)^{hk}) $ が $ p $ を法として0に収束するか？
• RQ2 $ (A+\rho)/p^a $ および $ 2m/p^a $ のLegendre記号の条件が、$ u_k $ もしくは $ v_k $ を含む和が $ p $ を法として0に収束するかどうかをどのように決定するか？
• RQ3 $ p \neq 2 $ のとき、フィボナッチ数、ルーカス数、ペル数、および関連する数列と中心二項係数を含む和について、正確な $ p^2 $-合同式は何か？
• RQ4 $ p $ が $ x^2 + 2y^2 $ もしくは $ x^2 + 3y^2 $ として表される場合、$ Q_k $、$ S_k $、または $ T_k $ と二項係数の和の $ p^2 $-合同式の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ5 $ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / 16^k $ を $ F_{2k} $、$ L_{2k} $、$ P_k $、または $ Q_k $ で重み付けした和が、$ p $ の特定の合同条件のもとで $ p $ もしくは $ p^2 $ を法として0に収束するかを示せるか？

主な発見

• $ p \not\big| m $ かつ $ (A+\rho)/p^a = \big(\frac{2m}{p^a}\big) $ ならば、$ k = 0 $ から $ p^a - 1 $ まで和を取ると、$ \textstyle\binom{2k}{k}^h u_k(A, m^2) / (m^k (-4)^{hk}) $ は $ p $ を法として0に収束する。
• $ (A+\rho)/p^a = -\big(\frac{2m}{p^a}\big) $ ならば、$ v_k $ を含む対応する和は $ p $ を法として0に収束する。
• $ p \neq 3 $、$ p \neq 5 $、$ p \neq 2 $ のとき、$ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / 16^k $ を $ F_{2k} $ で重み付けした和は、$ p \not\big| 5 $ かつ $ p \neq 2 $ のもとで、特定の合同条件のもとで $ p $ を法として0に収束する。
• $ p \neq 2 $ のとき、$ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / 32^k $ を $ P_k $ で重み付けした和は、$ p \neq 2 $ ならば $ p^2 $ を法として0に収束し、$ p \neq 2 $ かつ $ p \neq 8 $ ならば $ p $ を法として0に収束する。
• $ p \neq 3 $、$ p \neq 2 $、$ p \neq 5 $ のとき、$ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / 64^k $ を $ S_k $ で重み付けした和は、$ p \neq 2 $ ならば $ p^2 $ を法として0に収束し、$ p \neq 3 $ ならば $ p $ を法として0に収束する。
• $ p = x^2 + 2y^2 $ かつ $ x \neq 0 \bmod 8 $ のとき、$ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / (-8)^k $ を $ Q_k $ で重み付けした和は、$ 4x - p/x $ を含む $ p^2 $-合同式を満たし、符号および値は $ (p-1)/8 $ もしくは $ (y+1)/2 $ に依存する。