[論文レビュー] Conical Kahler-Einstein metric revisited

Chi Li, Song Sun|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 45被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、Fano多様体の因子に比例する正の因子に沿った錐特異性をもつ錐ケーラー・アインシュタイン計量を研究するための「補間・崩壊」戦略を導入する。小さな錐角と大きな錐角の間で補間を行い、崩壊を分析することで、このような計量が存在する角度の集合が連続な区間をなしており、その端点を特定する。主な結果として、ℙ²に滑らかな二次曲線に沿った錐特異性をもつケーラー・アインシュタイン計量が存在するための必要十分条件は、角度が (π/2, 2π] に属することであることが示され、A₂特異性のリンクにおけるサスキー・アインシュタイン計量の存在問題が解決される。

ABSTRACT

In this paper we introduce the "interpolation-degneration" strategy to study Kahler-Einstein metrics on a smooth Fano manifold with cone singularities along a smooth divisor that is proportional to the anti-canonical divisor. By "interpolation" we show the angles in $(0, 2π]$ that admit a conical Kahler-Einstein metric form an interval; and by "degeneration" we figure out the boundary of the interval. As a first application, we show that there exists a Kahler-Einstein metric on $P^2$ with cone singularity along a smooth conic (degree 2) curve if and only if the angle is in $(π/2, 2π]$. When the angle is $2π/3$ this proves the existence of a Sasaki-Einstein metric on the link of a three dimensional $A_2$ singularity, and thus answers a problem posed by Gauntlett-Martelli-Sparks-Yau. As a second application we prove a version of Donaldson's conjecture about conical Kahler-Einstein metrics in the toric case using Song-Wang's recent existence result of toric invariant conical Kahler-Einstein metrics.

研究の動機と目的

• Fano多様体 X と因子 D ∼ −λK_X に沿った錐特異性をもつ錐ケーラー・アインシュタイン計量が存在するような錐角 β ∈ (0,1] の全範囲を特定すること。
• E(X,D) と表記されるこのような角度の集合が、(0,1] 内の相対的開区間であることを、補間と崩壊の技法を用いて確立すること。
• ガントレット＝マルティェリ＝スパース＝ヨーの予想を解決し、3次元 A₂ 特異性のリンクにおけるサスキー・アインシュタイン計量の存在を β = 2π/3 の場合に証明すること。
• ソン＝ワンの存在結果を用いて、トーリック設定におけるドナルドソンの予想のバージョンを補間・崩壊戦略により証明すること。

提案手法

• 『補間・崩壊』戦略を導入：E(X,D) が区間であることを補間で示し、境界を特定するために崩壊を用いる。
• 陰関数定理とバンドー＝マブーチの分岐法を用いて、β → 1 のときの錐計量の収束を分析する。
• 対数フタキ不変量と対数マブーチ・エネルギーを用いて存在の障害を検出し、対数K安定性と関連付ける。
• 特に λ が偶数のとき、|−λK_X| 内の因子 D の崩壊を分析し、極限的特異ケーラー・アインシュタイン対を同定する。
• トーリック幾何とアフィン座標を用いて、基底集合付近の局所的挙動を研究し、|−λK_X| 内の一般の因子が滑らかであることを検証する。
• 境界をもつ特異多様体上の複素モンジュ＝アンペール方程式を用いて、錐計量の退化極限を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fano多様体 X と因子 D ∼ −λK_X に沿った錐特異性をもつ錐ケーラー・アインシュタイン計量が存在するような錐角 β ∈ (0,1] はどれか？
• RQ2 このような角度の集合 E(X,D) は区間であるか？ その端点は何か？
• RQ3 Aut(X) が非離散であっても、X に滑らかなケーラー・アインシュタイン計量が存在する場合、β → 1 のときの錐計量がそれへ収束するか？
• RQ4 補間・崩壊戦略は、トーリックの場合におけるドナルドソンの予想を解消できるか？
• RQ5 λ を増加させたとき、|−λK_X| 内の因子 D の崩壊挙動は何か？ そして、錐計量の存在にどのように影響するか？

主な発見

• 錐特異性をもつ錐ケーラー・アインシュタイン計量が存在する角度 β ∈ (0,1] の集合 E(X,D) は、(0,1] 内の相対的開区間であり、ある ε > 0 に対して (0,1−λ⁻¹+ε) を含む。
• X = ℙ² で D が滑らかな二次曲線（次数 2）の場合、錐ケーラー・アインシュタイン計量が存在するための必要十分条件は β ∈ (1/2,1] であり、これに対応する角度 2πβ は (π/2,2π] に属する。
• β = 2π/3（すなわち β = 2/3）の場合、これは 3次元 A₂ 特異性のリンクにおけるサスキー・アインシュタイン計量の存在を示し、ガントレット＝マルティェリ＝スパース＝ヨーの予想を確認する。
• トーリックの場合、補間・崩壊戦略により、ソン＝ワンの存在結果を用いてドナルドソンの予想のバージョンが証明される。
• λ が偶数の場合、|−λK_X| 内の一般の因子は滑らかであり、λ が増加するにつれて基底集合の多重度倍に崩壊するが、周囲の空間は固定されたままである。
• λ が奇数の場合（例：λ = 1）、周囲の空間の崩壊が予想されるが、未解決のままであり、このような場合の欠落した崩壊モデルが存在することを示唆している。