[論文レビュー] Correspondance de Jacquet-Langlands pour les corps locaux de caractéristique non nulle

Alexandru Ioan Badulescu|ArXiv.org|Jan 14, 2002

Advanced Algebra and Geometry被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、カジダンにインspiredされた「近い体」のアプローチを用いて、正の特性をもつ局所体上の $GL_n$ の内部形式におけるジャケ・ラングランズ対応を確立する。正の特性の局所体上の $GL_r(D)$ の表現と、近傍の零特性の体上のそれらを関連させることで、著者たちは対応を証明し、キャラクターの直交性、導出レベルの不等式、固定された分岐データをもつ自動的カスプ形式表現の有限性といった重要な結果を導出する。

ABSTRACT

We prove the Jacquet-Langlands local correspondence in non-zero characteristic, using the proof by Deligne, Kazhdan and Vignéras for the zero characteristic case and the theory of closed fields of Kazhdan. We also prove the orthogonality relations for an inner form of $GL_n$ in non-zero characteristic.

研究の動機と目的

• 正の特性をもつ局所体へのジャケ・ラングランズ対応の拡張を図ること。
• 正の特性における $GL_n$ の内部形式について、キャラクターの直交性に関する結果の欠如を克服すること。
• 零特性における既知の結果の類似物（例えば、導出レベルの境界や有限性定理）を、正の特性における自動的カスプ形式表現に対して確立すること。
• 『近い体』の手法を用いて、正の特性体上の $GL_r(D)$ の表現理論と、零特性体上の $GL_n(L)$ の表現理論を関連させること。
• デリーニュ＝カジダン＝ヴィニェラスの既知の結果を用いて、この比較により完全なジャケ・ラングランズ対応を証明すること。

提案手法

• カジダンによって開発された『近い局所体』の理論を用い、$F$（正の特性）と $L$（零特性）を、適合する拡大と代数を介して関連付ける。
• $GL_r(D)$ と $GL_n(F)$ の最大トーラスの間の形式的双対写像を構成し、共役性と多項式構造を保存する。
• $G = GL_n(F)$ と $G' = GL_r(D)$ の半単純正則元の間の対応を、同一の特性多項式を通じて確立する。
• デリーニュ＝カジダン＝ヴィニェラスによる零特性におけるジャケ・ラングランズ対応の既知の証明を活用し、その結果を正の特性へと移行する。
• 近接する群におけるヘッケ代数と調和解析の比較を通じて、$G'$ 上の表現の性質を $G$ 上のそれらから導出する。
• 適切な表現論および球面関数の理論を適用し、$G'$ における直交性および有限性の結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャケ・ラングランズ対応は、非ゼロ特性をもつ局所体へ拡張可能か？
• RQ2 標準的な表現論的性質（例えば、キャラクターの直交性や導出レベルの境界）は、正の特性体上の $GL_n$ の内部形式について成り立つか？
• RQ3 『近い体』を用いて、零特性におけるジャケ・ラングランズ対応の証明を正の特性へと移行する方法はあるか？
• RQ4 対応が、正の特性をもつグローバル体上の自動的カスプ形式表現に与える影響は何か？
• RQ5 固定された分岐データをもつ自動的カスプ形式表現の有限性は、正の特性において確立可能か？

主な発見

• 内因的 $GL_n$ について、正の特性をもつ局所体上でのジャケ・ラングランズ対応が完全に確立された。
• 正の特性をもつ局所体上の $GL_r(D)$ の表現について、キャラクターの直交性関係が証明され、これはかつて零特性でのみ知られていた結果の拡張である。
• 正の特性における $GL_r(D)$ の表現について、導出とレベルの間の正確な不等式が確立され、零特性の場合と類似している。
• グローバル体が正の特性をもつ内因的 $GL_n$ について、ほとんどすべての場所での固定成分をもつ自動的カスプ形式表現の有限性が証明された。
• 対応は、正の特性局所体上の $GL_r(D)$ と、近傍の零特性局所体上の $GL_n(L)$ の間の表現理論の比較を通じて構成された。
• 証明は『近い体』の手法および両設定間での調和解析とヘッケ代数構造の移行に依存している。