[论文解读] Decodable quantum LDPC codes beyond the $\sqrt{n}$ distance barrier using high dimensional expanders

Shai Evra, Tali Kaufman+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

该论文通过利用三维Ramanujan复形和受Hastings及Tillich-Zemor启发的张量化方法，首次构建了最小距离超过$√n$障碍的量子LDPC码族——实现了$n^{1/2}\log n$的最小距离。该构造结合了高维展开图与经典LDPC码，实现了多项式时间解码算法，可纠正超出先前距离限制的错误。

ABSTRACT

Constructing quantum LDPC codes with a minimum distance that grows faster than a square root of the length has been a major challenge of the field. With this challenge in mind, we investigate constructions that come from high-dimensional expanders, in particular Ramanujan complexes. These naturally give rise to very unbalanced quantum error correcting codes that have a large $X$-distance but a much smaller $Z$-distance. However, together with a classical expander LDPC code and a tensoring method that generalises a construction of Hastings and also the Tillich-Zemor construction of quantum codes, we obtain quantum LDPC codes whose minimum distance exceeds the square root of the code length and whose dimension comes close to a square root of the code length. When the ingredient is a 3-dimensional Ramanujan complex, we show that its 2-systole behaves like a square of the log of the complex size, which results in an overall quantum code of minimum distance $n^{1/2}\log n$, and sets a new record for quantum LDPC codes. When we use a 2-dimensional Ramanujan complex, or the 2-skeleton of a 3-dimensional Ramanujan complex, we obtain a quantum LDPC code of minimum distance $n^{1/2}\log^{1/2}n$. We then exploit the expansion properties of the complex to devise the first polynomial time algorithm that decodes above the square root barrier for quantum LDPC codes.

研究动机与目标

• 克服量子LDPC码中长期存在的$√n$距离障碍。
• 构建最小距离显著超过$\sqrt{n}$的量子LDPC码，同时保持奇偶校验矩阵的常数权重特性。
• 为量子LDPC码开发一种在$√n$距离阈值以上运行的多项式时间解码算法。
• 利用Ramanujan复形的展开性质，实现高距离、高码率的量子码。

提出的方法

• 以三维Ramanujan复形作为几何基础，利用其高维展开性和有界度结构。
• 从Ramanujan复形的2-骨架构造量子码，使用顶点-边和三角形-边关联矩阵作为$H_X$和$H_Z$。
• 应用受Hastings及Tillich-Zemor启发的张量化方法，增强$Z$-距离，同时保持LDPC结构。
• 将复形的$2$-systole作为关键几何不变量，其在三维复形中表现为$\log^2 n$。
• 提出一种基于局部极小性和余边界约化的简化解码算法，利用复形的展开性质。
• 使用Cartwright-Steger群及其同余子群，构造具有所需对称性和展开性质的显式Ramanujan复形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建最小距离超过$\sqrt{n}$的量子LDPC码，从而打破长期存在的障碍？
• RQ2 能否利用高维展开图（如Ramanujan复形）构造出兼具高距离与高码率的量子码？
• RQ3 是否存在一种在$√n$距离限制以上运行的多项式时间解码算法？
• RQ4 Ramanujan复形的$2$-systole及高维展开性质在决定码距离方面起到何种作用？

主要发现

• 该论文构建的量子LDPC码具有最小距离$n^{1/2}\log n$，创下突破$\sqrt{n}$障碍的新纪录。
• 码维接近$\sqrt{n}$，实现了此前无法达到的码率与距离之间的平衡。
• 对于三维Ramanujan复形，$2$-systole的尺度为$\log^2 n$，这直接贡献于$n^{1/2}\log n$的距离缩放。
• 设计了一种多项式时间解码算法，基于局部极小性和余边界约化，可纠正高达常数倍码长的错误。
• 在基础码中，$d_X = \log n$且$d_Z = \Omega(n)$，张量化方法使有效距离超过$\sqrt{n}$。
• 证明了解码算法在错误权重达到$c|E|$时仍能成功，其中$c$是$q$的递减函数，表明其在有界错误下的鲁棒性。