[论文解读] Development and Application of the Fourier Method to the Mean-Square Approximation of Iterated Ito and Stratonovich Stochastic Integrals

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用 17

一句话总结

本文提出了一种基于傅里叶的均方逼近方法，用于任意阶次的互 iterated Ito 和 Stratonovich 随机积分，采用广义多重傅里叶级数——特别是勒让德级数和三角级数。推导了均方误差的精确与近似表达式，并提供了任意阶次 k 的互 Ito 积分以及最多六重乘法的 Stratonovich 积分的显式展开式，从而实现了对非交换噪声的 Ito SDE 的高效数值积分。

ABSTRACT

The article is devoted to the mean-square approximation of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals in the context of the numerical integration of Ito stochastic differential equations. The expansion of iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ and expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 6 have been obtained. Considerable attention is paid to expansions based on multiple Fourier-Legendre series. The exact and approximate expressions for the mean-square error of approximation of iterated Ito stochastic integrals are derived. The results of the article will be useful for numerical integration of Ito stochastic differential equations with non-commutative noise.

研究动机与目标

• 开发一种针对在 Ito 随机微分方程（SDE）数值解中出现的互 Ito 和 Stratonovich 随机积分的稳健均方逼近方法。
• 通过采用广义多重傅里叶级数，特别是多重傅里叶–勒让德级数和三角级数，扩展现有逼近技术，以处理高阶互积分。
• 推导逼近均方误差的精确与近似表达式，从而实现对数值格式精度的定量评估。
• 提供任意阶次 k 的互 Ito 积分以及最多六重乘法的 Stratonovich 积分的显式展开式，支持实际实现。
• 建立所提逼近框架与 Wong–Zakai 型逼近之间的联系，验证其与已知随机微积分结果的一致性。

提出的方法

• 在希尔伯特空间 $ L_2([t,T]) $ 中使用广义多重傅里叶级数展开来表示互 Ito 和 Stratonovich 随机积分。
• 应用完备或正交系统——特别是勒让德多项式和三角函数——作为傅里叶级数分解的基函数。
• 利用真积分与傅里叶逼近之间差值的 $ L_2 $-范数，推导逼近均方误差的精确表达式。
• 提出一个适用于 $ L_2([t,T]) $ 中任意完备或正交系统的广义框架，将定理 2 和定理 3 扩展至更广泛的函数类。
• 利用 Ito 与 Stratonovich 积分之间的关系，通过包含克罗内克 δ 函数的校正项，从 Ito 对应项推导 Stratonovich 展开式。
• 通过逼近项数或逼近参数趋于无穷时的 $ \text{l.i.m.} $（均方极限）验证逼近的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义多重傅里叶级数，以最小均方误差逼近任意阶次 $ k \in \mathbb{N} $ 的互 Ito 随机积分？
• RQ2 利用勒让德和三角傅里叶级数逼近互 Ito 积分时，其均方误差的精确与近似表达式是什么？
• RQ3 如何利用多重傅里叶–勒让德级数和三角级数，显式展开乘法阶次为 1 至 6 的互 Stratonovich 随机积分？
• RQ4 所提出的基于傅里叶的逼近方法与 Wong–Zakai 型随机积分逼近之间有何关系？
• RQ5 该逼近结果与文献中已知结果相比如何，特别是在收敛性与 Ito–Stratonovich 关系一致性方面？

主要发现

• 本文利用广义多重傅里叶级数，推导出任意阶次 $ k $ 的互 Ito 随机积分的显式展开式，且在均方意义下保证收敛。
• 对于乘法阶次为 1 至 6 的互 Stratonovich 随机积分，作者基于多重傅里叶–勒让德级数和三角级数提供了闭式展开式，支持实际数值实现。
• 推导出逼近均方误差的精确表达式，其误差取决于傅里叶系数的 $ L_2 $-范数以及基函数的正交性性质。
• 提供了均方误差的近似表达式，可在无需完整重构积分的情况下实现高效误差估计。
• 通过逼近项数增加时的 $ \text{l.i.m.} $（均方极限）严格建立了傅里叶逼近的收敛性，且通过与已知 Wong–Zakai 逼近的比较，确认了其一致性。
• 通过显式例子验证了该方法，包括使用勒让德多项式展开逼近双重随机积分，其中逼近的极限收敛于正确的 Stratonovich 积分。