[論文レビュー] Donaldson = Seiberg-Witten from Mochizuki's formula and instanton counting

Lothar Göttsche, Hiraku Nakajima+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$N=2$ SUSYゲージ理論における基本的マター multipletを伴うネクラーソフの歪み付き分配関数を介して、単純型の4次元多様体のドナルドソン不変量とセイバーグ＝ワッテン不変量の間の明確な数学的公式を確立する。代数幾何的設定におけるモチヅキの公式を用いて、インスタントン数え上げと等配分局在を用いて明示的な係数を導出し、Wittenの予想およびこのような4次元多様体における超共形単純型条件を証明する。

ABSTRACT

We propose an explicit formula connecting Donaldson invariants and Seiberg-Witten invariants of a 4-manifold of simple type via Nekrasov's deformed partition function for the N=2 SUSY gauge theory with a single fundamental matter. This formula is derived from Mochizuki's formula, which makes sense and was proved when the 4-manifold is complex projective. Assuming our formula is true for a 4-manifold of simple type, we prove Witten's conjecture and sum rules for Seiberg-Witten invariants (superconformal simple type condition), conjectured by Mariño, Moore and Peradze.

研究の動機と目的

• 単純型の4次元多様体に対して、ドナルドソン不変量とセイバーグ＝ワッテン不変量の間の厳密な数学的関係を確立すること。
• インスタントン数え上げと等配分局在を用いて、ドナルドソン級数の係数に対する明示的公式を導出すること。
• ネクラーソフ分配関数を介して、ドナルドソン不変量とセイバーグ＝ワッテン不変量を関連付けるWittenの予想を証明すること。
• モチヅキの公式を仮定したもとで、セイバーグ＝ワッテン不変量の超共形単純型条件（和則）を検証すること。
• ドナルドソン級数の係数が、基本的マターを伴う$N=2$ SUSYゲージ理論におけるネクラーソフの歪み付き分配関数の主要項として生じることを示すこと。

提案手法

• モチヅキの公式からドナルドソン生成関数を導出し、この公式は複素射影的表面の点のヒルベルトスキームの積上の${\mathbb{C}}^*$-等配分積分の留数としてドナルドソン不変量を表す。
• ドナルドソン級数の係数を、$N=2$ SUSYゲージ理論に1つの基本的ハイパーマトリクスレットを伴うネクラーソフの歪み付き分配関数の主要項$F_0$, $H$, $A$, $B$として特定する。
• 分配関数のブロー・アップ公式を用いて、異なる4次元多様体上の不変量を関連付け、生成関数の構造を抽出する。
• アティヤ＝ボット＝リシュツの固定点定理を、モチヅキの元来の導出に従い、$\operatorname{SO}(3)$-モノポールモジュライ空間の代数幾何的類似物に適用する。
• $\zeta$-依存するべきと交差数を含む生成関数における$\zeta=0$での留数計算を、セイバーグ＝ワッテン曲線の構造とパrameter $u$ を用いて行う。
• 次数$n = \chi_h(X) - (K_X^2) - 4$に関する下向き帰納法を用いて、超共形単純型条件を証明し、公式の仮定の下で高次項が消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数幾何的および等配分的技法を用いて、ドナルドソン不変量とセイバーグ＝ワッテン不変量の関係を数学的に厳密に定式化できるか？
• RQ2 ドナルドソン生成関数の係数は、基本的マターを伴う$N=2$ SUSYゲージ理論におけるネクラーソフの分配関数の主要項と一致するか？
• RQ3 モチヅキの公式とインスタントン数え上げを仮定したもとで、セイバーグ＝ワッテン不変量の超共形単純型条件は導かれるか？
• RQ4 ドナルドソン不変量の生成関数は、特異点$u = \pm 2\Lambda^2$に台を持つセイバーグ＝ワッテン曲線への積分として表現可能か？
• RQ5 セイバーグ＝ワッテン不変量の和則は、分配関数の構造と留数計算から導出可能か？

主な発見

• ドナルドソン級数の係数$f_{k,l}$は、$N=2$ SUSYゲージ理論に1つの基本的ハイパーマトリクスレットを伴うネクラーソフの歪み付き分配関数の主要項として明示的に与えられる。
• この公式は、モチヅキの公式が成り立つものと仮定したもとで、単純型の4次元多様体におけるドナルドソン不変量とセイバーグ＝ワッテン不変量を関連付けるWittenの予想を証明する。
• セイバーグ＝ワッテン不変量の超共形単純型条件（和則）は、次数$n = \chi_h(X) - (K_X^2) - 4$に関する下向き帰納法を用いて検証された。
• $\zeta = 0$における留数計算により、$k^l / (3^l l!)$に比例する非ゼロ係数が得られ、これが展開における主要項の非退化性を保証する。
• ドナルドソン不変量の生成関数がスピン$^c$構造$\xi$に依存しないことが示され、これは異なる$\xi$の選択に対しても公式の一貫性を示している。
• 証明により、すべての高次項が公式の仮定の下で消えることが示され、すべての$n \leq \chi_h(X) - (K_X^2) - 4$に対して超共形単純型条件が確認された。