[논문 리뷰] Error estimates of semi-discrete and fully discrete finite element methods for the Cahn-Hilliard-Cook equation

Ruisheng Qi, Xiaojie Wang|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 28.

Solidification and crystal growth phenomena참고 문헌 29인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 확률적 Cahn-Hilliard-Cook 방정식에 적용된 준연속 및 완전 연속 유한요소 방법에 대한 최적 오차 추정을 수립한다. 공간에서 가우스 히르기 유한요소를, 시간에서 후진 오일러 방법을 사용함으로써, 비선형 항에 존재하는 유계가 아닌 타원형 연산자의 영향을 고려하여 강한 수렴 속도를 도출한다.

ABSTRACT

In two recent publications [Kov{á}cs, Larsson, and Mesforush, SIAM J. Numer. Anal. 49(6), 2407-2429, 2011] and [Furihata, et al., SIAM J. Numer. Anal. 56(2), 708-731, 2018], strong convergence of the semi-discrete and fully discrete finite element methods is, respectively, proved for the Cahn-Hilliard-Cook (CHC) equation, but without convergence rates revealed. The present work aims to fill the left gap, by recovering strong convergence rates of (fully discrete) finite element methods for the CHC equation. More accurately, strong convergence rates of a full discretization are obtained, based on Galerkin finite element methods for the spatial discretization and the backward Euler method for the temporal discretization. It turns out that the convergence rates heavily depend on the spatial regularity of the noise process. Different from the stochastic Allen-Cahn equation, the presence of the unbounded elliptic operator in front of the cubic nonlinearity in the underlying model makes the error analysis much more challenging and demanding. To address such difficulties, several new techniques and error estimates are developed. Numerical examples are finally provided to confirm the previous findings.

연구 동기 및 목표

• 기존 문헌에서의 격차를 메우기 위해 Cahn-Hilliard-Cook 방정식에 적용된 유한요소 방법의 수렴 속도를 제공하는 것.
• 소음의 일반적인 공간 정규성 조건 하에서 준연속 및 완전 연속 유한요소 스킴의 강한 수렴을 분석하는 것.
• Cahn-Hilliard-Cook 모델의 유계가 아닌 타원형 연산자에 특화된 새로운 오차 추정 기법을 개발하는 것.
• 이론적 결과를 수치 실험을 통해 확인하여 수렴 행동을 검증하는 것.

제안 방법

• 공간 이산화에는 표준 적합한 유한요소를 사용하는 가우스 유한요소 방법을 적용한다.
• 시간 이산화에는 시간 적분을 위한 후진 오일러 스킴을 사용한다.
• 비선형 및 확률적 항을 제어하기 위해 사전 추정 및 에너지 유형 부등식을 유도한다.
• 세제곱 비선형성 앞의 유계가 아닌 연산자를 다루기 위해 새로운 오차 분해 기법을 도입한다.
• 이토 등장 및 모멘트 추정을 사용하여 확률적 추정과 결정론적 오차 한계를 통합한다.
• 수렴 속도가 소음 과정의 공간 정규성에 명시적으로 의존함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Cahn-Hilliard-Cook 방정식에서 완전 연속 유한요소 스킴의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 소음의 공간 정규성은 유한요소 방법의 수렴 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 비선형 항에 존재하는 유계가 아닌 타원형 연산자를 다루기 위해 필요한 새로운 분석 기법은 무엇인가?
• RQ4 준연속 및 완전 연속 스킴에 대해 강한 수렴 속도를 엄밀히 확립할 수 있는가?
• RQ5 이론적 오차 추정은 수치 실험과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 완전 연속 유한요소 방법에서 L^2 노름에서 최적 수렴 속도 O(h^2 + k)가 확립되며, 여기서 h는 공간 메쉬 크기이고 k는 시간 스텝이다.
• 수렴 속도는 소음 과정의 공간 정규성에 의해 결정되며, 정규성이 높을수록 수렴 속도가 향상된다.
• 세제곱 비선형성 앞에 존재하는 유계가 아닌 타원형 연산자의 존재는 기존 접근 방식을 초월한 새로운 오차 추정 기법의 개발이 필요함을 시사한다.
• 수치 실험은 이론적 수렴 속도를 확인하여 다양한 소음 정규성 수준에서 오차 추정의 타당성을 검증한다.
• 이전 연구에서 강한 수렴만 증명된 바가 있었지만, 본 분석은 이를 확장하여 수렴 속도를 제공한다.