[論文レビュー] Existence and classification of overtwisted contact structures in all dimensions

Matthew Strom Borman, Yakov Eliashberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、すべての奇数次元において、オーバートゥィスト接触構造のパラメトリックh原理を確立し、閉多様体上の任意のほぼ接触構造が、真のオーバートゥィスト接触構造にホモトープであることを証明する。主な貢献は、対称空間のホモトピー群を用いた球面上のオーバートゥィスト接触構造の完全分類であり、特定の球面上では有限個、他の球面上では無限個の構造が存在することが示される。

ABSTRACT

We establish a parametric extension $h$-principle for overtwisted contact structures on manifolds of all dimensions, which is the direct generalization of the $3$-dimensional result from \cite{Eli89}. It implies, in particular, that any closed manifold admits a contact structure in any given homotopy class of almost contact structures.

研究の動機と目的

• すべての奇数次元多様体におけるオーバートゥィスト接触構造のパラメトリックh原理を確立すること。
• グロモフのh原理をオーバートゥィストの場合に拡張することで、閉多様体上の接触構造の存在問題を解決すること。
• ホモトピー群 $ SO(2n+2)/U(n+1) $ を用いて、球面 $ S^{2n+1} $ 上のオーバートゥィスト接触構造を分類すること。
• 2n次元の折れ線的（piecewise smooth）な2n-円板上でのモデル接触芽を用いて、3次元を超えたすべての奇数次元へのオーバートゥィスト性の概念を拡張すること。
• オーバートゥィスト接触多様体の順序可能性の性質を調査し、それらが弱く順序付け可能でないことを示すこと。

提案手法

• 折れ線的2n-円板 $ D_{ ext{ot}} $ 上のモデル芽 $ heta_{ ext{ot}} $ を用いて、すべての奇数次元におけるオーバートゥィスト接触構造の一般化を導入する。
• オーバートゥィスト接触構造におけるパラメトリックh原理を証明する：閉多様体上の任意のほぼ接触構造は、真のオーバートゥィスト接触構造にホモトープである。
• 包含写像 $ j: ext{Cont}_{ ext{ot}}(M;A, heta_0) o ext{cont}(M;A, heta_0) $ を用い、それが弱ホモトピー同値であることを示す。
• リーブフローを用いて、$ (M imes D^2_R, heta + xdy - ydx) $ から $ (M imes R^2 ackslash 0, heta + xdy - ydx) $ への接触埋め込みを構成し、$ R $ が十分に大きい場合にオーバートゥィスト性が成立することを示す。
• h原理を適用して、閉多様体上の任意のほぼ接触構造のホモトピー類に属するオーバートゥィスト接触構造が存在することを示す。
• 接触同倫拡張定理と、$ V^+(2K) $ から $ V^+(K) $ への接触同倫の存在を用いて、オーバートゥィスト多様体の非弱順序可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オーバートゥィスト接触構造のパラメトリックh原理は、3次元多様体からすべての奇数次元多様体に拡張可能か？
• RQ2 ホモトピー不変量を用いて、球面 $ S^{2n+1} $ 上のオーバートゥィスト接触構造はどのように分類されるか？
• RQ3 オーバートゥィスト接触多様体は、接触ハミルトニアン力学における意味で弱く順序付け可能か？
• RQ4 閉多様体上にほぼ接触構造が存在するとき、接触構造が存在するか？もし存在するなら、オーバートゥィスト類において同倫的同値を除いて一意的か？
• RQ5 オーバートゥィスト性は、曲面や高次元多様体との積に対してどのように振る舞うか？

主な発見

• 閉多様体上の任意のほぼ接触構造は、$ (2n+1) $-次元多様体上で、真のオーバートゥィスト接触構造にホモトープであり、すべての奇数次元において完全なh原理が確立される。
• 閉部分集合 $ A $ に近い部分で固定された接触構造と一致するオーバートゥィスト接触構造の空間は、同じデータと一致するほぼ接触構造の空間と弱ホモトピー同値である。
• $ S^5 $ 上には一意にオーバートゥィスト接触構造が存在するが、$ S^{8k+1} $ 上には正確に $ (4k)! $ 個の異なるオーバートゥィスト接触構造が存在する。
• $ S^{8k+5} $ 上には $ rac{(4k+2)!}{2} $ 個の異なるオーバートゥィスト接触構造が存在し、$ S^{8k+3} $ 上には $ Z imes Z/2Z $ 個の構造が存在する。
• すべての閉オーバートゥィスト接触多様体は弱く順序付け可能でない。これは、$ V^+(2K) $ から $ V^+(K) $ への同倫の構成により示され、弱順序関係が自明であることが示される。
• 3次元を超える多様体上のタイト接触構造の分類問題は未解決のままだが、$ S^5 $ 上には無限個のタイト接触構造が存在する。