[論文レビュー] Exotic group C*-algebras in noncommutative duality

S. Kaliszewski, Magnus B. Landstad+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、Br(G) を含む G-不変な弱*-閉部分空間 E ⊆ B(G) と C*(G) と Cr(G) の間の中間 C*-代数 CE(G) の間の一対一対応を確立する。E が B(G) のイデアルであれば CE(G) はコアクションを、E が部分代数であればコマルチプライケーションを備えることを示し、非可換双対性における「特異的」双対性を探索するための E-クローズド積を導入。著者らは、これらの中間クローズド積が CE(G) に対して E-クローズド積双対性を満たすと予想している。

ABSTRACT

We show that for a locally compact group G there is a one-to-one correspondence between G-invariant weak*-closed subspaces E of the Fourier-Stieltjes algebra B(G) containing B_r(G) and quotients C*_E(G) of C*(G) which are intermediate between C*(G) and the reduced group algebra C*_r(G). We show that the canonical comultiplication on C*(G) descends to a coaction or a comultiplication on C*_E(G) if and only if E is an ideal or subalgebra, respectively. When αis an action of G on a C*-algebra B, we define "E-crossed products" B times_{α,E} G lying between the full crossed product and the reduced one, and we conjecture that these "intermediate crossed products" satisfy an "exotic" version of crossed-product duality involving C*_E(G).

研究の動機と目的

• G-不変な弱*-閉部分空間 E ⊆ B(G) で Br(G) を含むものと、C*(G) と Cr(G) の間の中間 C*-代数 CE(G) の間の一対一対応を確立すること。
• E が B(G) のイデアルか部分代数かに応じて、CE(G) がコアクションまたはコマルチプライケーションを備える条件を特定すること。
• C*-動的系 (B, G, α) に対して、フルとリダクドのクローズド積の間にある E-クローズド積 B⋊α,E G を定義すること。
• これらの E-クローズド積が CE(G) を含む「特異的」バージョンのクローズド積双対性を満たすと予想すること。
• 非可換双対性の文脈において、これらの中間 C*-代数の構造的性質および双対性の性質を探索すること。

提案手法

• B(G) の部分空間 E ⊆ B(G) の直交補空間を用いて、C*(G) の商として CE(G) を構成する。この際、調和解析の基本的手法を用いる。
• C*(G) 上の標準的コアクション δG を用いて、CE(G) がコアクションを備えるのは E が B(G) のイデアルである場合に限ることを示す。
• δG の商を用いて、CE(G) がコマルチプライケーションを備えるのは E が B(G) の部分代数である場合に限ることを示す。
• E-クローズド積 B⋊α,E G を、フルクローズド積 B⋊αG の核イデアル Jα,E による商として定義する。
• EKQR06 の双対性フレームワークを用いて、B⋊α,E G 上の双対コアクションと CE(G) 上のコマルチプライケーションの関係を特定する。
• 商写像と同型写像を含む可換図式を構成することで、E-クローズド積双対性の概念を形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 商代数 CE(G) が C*(G) 上の標準的コアクションからコアクションを引き継ぐのはいつか？
• RQ2 CE(G) がコマルチプライケーションを備えるのはいつか？ そして、この現象が発生するための E ⊆ B(G) の代数的条件は何か？
• RQ3 任意の作用 (B, α) に対して、E-クローズド積 B⋊α,E G がフルとリダクドのクローズド積の間にあるように定義可能か？
• RQ4 予想 6.12 に従い、任意のコアクションが、ある E に対して E-クローズド積双対性を満たすか？
• RQ5 予想 6.14 が示唆するように、B⋊α,E G 上の双対コアクションは CE(G) 上のコマルチプライケーションと同値か？

主な発見

• Br(G) を含む G-不変な弱*-閉部分空間 E ⊆ B(G) と C*(G) と Cr(G) の間の中間 C*-代数 CE(G) の間には一対一対応が存在する。
• CE(G) がコアクション M(C*(G)) → M(CE(G) ⊗ C*(G)) を備えるのは、E が B(G) のイデアルである場合に限る。
• CE(G) がコマルチプライケーション M(CE(G)) → M(CE(G) ⊗ CE(G)) を備えるのは、E が B(G) の部分代数である場合に限る。
• 任意の作用 (B, α) に対して、E-クローズド積 B⋊α,E G は、イデアル Jα,E を用いたフルクローズド積 B⋊αG の商として定義され、フルとリダクドのクローズド積の間にある。
• 予想 6.14 は、B⋊α,E G 上の双対コアクションが E-クローズド積双対性を満たすことを示唆しており、ΦE と商写像を含む可換図式が成立する。
• 自明な作用 ℂ に対しては CE(G) = ℂ⋊ι,E G が成り立ち、C*(G) = ℂ⋊ιG と Cr(G) = ℂ⋊ι,rG の極端な場合を一般化する。