[論文レビュー] Fluctuation theory for upwards skip-free Lévy chains

Matija Vidmar|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、上向きに飛躍自由なレヴィ過程（ジャンプが格子に制限され、正のジャンプがない化合物ポアソン過程）の完全なフラクチュエーション理論を、スペクトル的に負のレヴィ過程の手法を応用することで構築する。主な貢献は、特にジャンプの支持が有界である場合に、明示的な計算を可能にする定数係数の線形再帰式を導出したことである。これは一般のレヴィ過程の場合よりもより明示的かつ包括的な取り扱いを可能にする。

ABSTRACT

A fluctuation theory and, in particular, a theory of scale functions is developed for upwards skip-free Lévy chains, i.e. for right-continuous random walks embedded into continuous time as compound Poisson processes. This is done by analogy to the spectrally negative class of Lévy processes -- several results, however, can be made more explicit/exhaustive in our compound Poisson setting. In particular, the scale functions admit a linear recursion, of constant order when the support of the jump measure is bounded, by means of which they can be calculated -- some examples are considered.

研究の動機と目的

• スペクトル的に負のレヴィ過程に対してはよく確立された理論と類似する、上向きに飛躍自由なレヴィ連鎖の包括的なフラクチュエーション理論の構築。
• この特定の過程クラスにおけるスケール関数とワイナーホフ因子分解の、より明示的かつ包括的な取り扱いの提供。
• このような連鎖の降下ラッダーヒールドプロセスとして生じるサブオルジネーターのクラスの同定。
• 直接的かつアルゴリズム的な計算が可能なスケール関数の線形再帰式の導出。

提案手法

• 格子値ジャンプを伴う化合物ポアソン過程の構造を活用し、飛躍自由性を活かして複雑性を低減することで、スケール関数の線形再帰式を導出する。
• スケール関数と線形差分方程式の特性多項式との間の関係を確立し、再帰的計算を可能にする。
• ワイナーホフ因子分解に基づき、上向きに飛躍自由な連鎖の離散的・格子設定に適応した理論を構築する。
• 過程の無限小生成作用素を用いて、停止スケール関数のマルティンゲール性を導出する。
• 特性多項式の根から得られる初期値を決定するための連立一次方程式の解法を含む。
• 有界および無限大のジャンプ支持を持つ例に理論を適用し、特定の状況では閉形式の表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上向きに飛躍自由なレヴィ連鎖に対して、スペクトル的に負のレヴィ過程と類似した構造的性質を有することを踏まえ、フラクチュエーション理論を体系的にどのように展開できるか。
• RQ2 この設定におけるスケール関数はどのような明示的形をとり、アルゴリズム的に計算可能か。
• RQ3 このような連鎖の降下ラッダーヒールドプロセスとして生じるサブオルジネーターはどのようなものか。また、それらはどのように同定できるか。
• RQ4 スケール関数は線形再帰式によって計算可能か。また、その再帰式が定数階数である条件は何か。
• RQ5 停止スケール関数のマルティンゲール性は、最初の通過問題にどのような意味を持つのか。

主な発見

• ジャンプ支持が有界である場合、上向きに飛躍自由なレヴィ連鎖のスケール関数は、定数係数の線形再帰式を満たし、計算が効率的に行える。
• ジャンプが最大で l 単位だけ下向きに発生する場合、再帰式の特性多項式の次数は l+1 となり、スケール関数の最初の l+1 値は l+1 個の連立一次方程式を解くことで決定できる。
• このような連鎖の降下ラッダーヒールドプロセスとして生じるサブオルジネーターのクラスは、定理 3.11 で正確に同定されている。
• ジャンプ支持が無限大の場合でも、ジャンプレートが幾何級数的に減少するなどの特定の条件下では、閉形式の表現が得られることがある。これは2階線形差分方程式に帰着される。
• 停止過程としてのスケール関数は、無限小生成作用素とマルコフ性を用いて、自然なフィルトレーションのもとでマルティンゲールであることが示された。
• 理論により、スケール関数に対する直接的な計算手法が提供され、一般のスペクトル的に負のケースに比べてより明示的である。