[论文解读] Full linear Phan-Thien--Tanner fluid model: Exact analytical solutions for steady, start-up, and cessation regimes of shear and extensional flows

D. Shogin|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2021

Rheology and Fluid Dynamics Studies参考文献 38被引用 8

一句话总结

本文首次为全线性Phan-Thien–Tanner（LPTT）流体在剪切流及所有三种拉伸流（平面、单轴、双轴）中的全部材料函数——稳态、启动和停止流——提供了完全显式、解析的解。通过一种新颖的尺度化方法，将模型的四个参数简化为一个，作者推导出紧凑且实值的表达式，解决了长期以来在拉伸黏度曲线上的歧义，并完全表征了瞬态流中的应力过冲与欠冲现象，包括振荡动力学及其振幅与时间。

ABSTRACT

Exact, fully explicit, purely real analytical expressions for the material functions describing steady, startup, and cessation regimes of shear flows and of planar, uniaxial, and biaxial extensional flows of full linear Phan-Thien--Tanner fluids are obtained. These expressions, which have no analogs in the literature, are formulated in compact, beautiful forms, partially due to the unique scaling procedure reducing the number of the model parameters from four to one. The properties of the material functions are investigated in detail. For steady extensional flows, the possible shapes of the extensional viscosity curves are described and the conditions for these shapes to occur are determined. For startup flows, it is found when exactly the stress dynamics is oscillatory, and, in this case, a detailed characterization of oscillations is given, which includes expressions for the position and magnitude of stress overshoots and undershoots.

研究动机与目标

• 为全线性Phan-Thien–Tanner（LPTT）流体在所有标准流变测量流动中所有材料函数提供精确、完全显式的解析表达式。
• 解决LPTT模型拉伸黏度曲线长期存在的歧义问题，该问题此前允许多重解，且需依赖隐式或近似公式。
• 完全表征启动和停止流中的瞬态应力动力学，包括振荡行为、过冲与欠冲现象，此前这些现象仅被定性研究过。
• 将先前针对简化LPTT模型的研究结果统一并推广为一个完整、参数完备的解析框架，适用于所有物理解释范围内的参数值。

提出的方法

• 通过一种新颖的尺度化方法，将LPTT模型的四个参数（η₀, λ, ε, ξ）简化为一个无量纲参数，推导出稳态和瞬态剪切流与拉伸流的精确解析解。
• 采用无量纲变量，建立稳态流中应力-应变率关系及瞬态流中应力演化行为的控制方程。
• 利用高级解析技术求解所得的非线性微分方程组，包括单调函数的反演以及三次和四次方程的求解。
• 通过判别式和符号分析，识别决定应力响应呈现三角函数（振荡）、双曲函数或指数形式的关键参数区域。
• 利用Lambert W函数求解启动流中应力欠冲分析所出现的超越方程。
• 使用Wolfram Mathematica对所有解析结果进行数值验证，完整验证代码作为补充材料提供。

实验结果

研究问题

• RQ1 全线性PTT流体在稳态平面、单轴和双轴拉伸流中，其拉伸黏度和法向应力差的精确、完全显式解析表达式是什么？
• RQ2 在启动和停止流中，应力响应在何种条件下表现出振荡行为？应力过冲与欠冲的精确位置和幅值是什么？
• RQ3 拉伸黏度曲线的形状如何依赖于模型参数？区分不同曲线形态的精确参数阈值是什么？
• RQ4 全LPTT模型的瞬态行为能否在不依赖近似或数值解的情况下实现完全解析表征，特别是对于振荡应力响应？
• RQ5 亲和参数ξ在决定应力演化性质方面起什么作用？它如何影响应力增长和松弛过程中振荡的发生？

主要发现

• 本文首次为全线性PTT流体在剪切流及所有三种拉伸流中所有材料函数推导出完全显式、纯实值的解析表达式，无任何隐式或模糊表述。
• 对于稳态拉伸流，本文识别出拉伸黏度曲线的所有可能形态（单调、具最大值的非单调、具最小值的非单调），并提供了每种形态出现的确切参数条件。
• 在启动剪切流与拉伸流中，本文确定了应力动力学呈现振荡行为的确切条件，并提供了应力过冲与欠冲的时间和幅值的闭式表达式。
• 分析表明，应力欠冲仅出现在剪切流和平面拉伸流中，其深度通过一个涉及Lambert W函数的方程被定量表征。
• 本研究通过证明对每个参数组仅存在一个物理解释意义的解，解决了以往拉伸黏度公式中的歧义，并给出了其精确解析形式。
• 研究结果表明，拉伸流控制方程的实根数量关键取决于可拉伸性参数ε和流动类型，其中双轴拉伸流在ε = 1/3处存在临界阈值。