[論文レビュー] Generic Pseudogroups on (C,0) and the Topology of Leaves

Jean-François Mattéi, Julio C. Rebelo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般に、0 ∈ ℂ を固定する正則微分同相写像によって生成される擬群が、共役類が固定されていても、巡回群の自由積であることを確立している。この結果は、字根分離子 {y² + x²ᵏ⁺¹ = 0} を持つ一般の可解的正則foliation において、非単純接続であるリーマン面は高々可算個であり、その集合は無限大であることを示しており、このようなfoliation に関する長年の位相的問題を解決する。

ABSTRACT

We show that generically a pseudogroup generated by holomorphic diffeomorphisms defined about $0 \in \mathbb{C}$ is free in the sense of pseudogroups even if the class of conjugacy of the generators is fixed. This result has a number of consequences on the topology of leaves for a (singular) holomorphic foliation defined on a neighborhood of an invariant curve. In particular in the classical and simplest case arising from local foliations possessing a unique separatrix that is given by a cusp of the form $\{y^2-x^{2k+1}=0\}$, our results allow us to settle the problem of showing that a generic foliation possesses only countably many non-simply connected leaves and that this countable set is, indeed, infinite.

研究の動機と目的

• 字根分離子 {y² + x²ᵏ⁺¹ = 0} を持つ特異な正則foliation におけるリーマン面の位相に関する長年の未解決問題を解消すること。
• 分離子 {y² + x²ᵏ⁺¹ = 0} を持つ一般の可解的foliation において、非単純接続であるリーマン面が高々可算個であることを示すこと。
• 一般の条件のもとで、非単純接続リーマン面の集合が無限大であることを確立すること。
• 一般に、0 ∈ ℂ における正則微分同相写像によって生成される擬群が、共役類が保存されても自由であることを証明すること。
• 一般の擬群作用において、互いに交わらない軌道を持つ無限個の双曲的不動点が存在することを示すこと。

提案手法

• Diff(ℂ,0) 上の解析的位相とBaire性質を用いて、Gδ-稠密集合を用いて一般性を定義する。
• 恒等写像に近い微分同相写像による生成子の共役を用いて、共役類を保存しつつ、生成される擬群の自由性を達成する。
• 一般性の結果（定理B）を応用し、共役された微分同相写像によって生成される擬群が、元の巡回群の自由積と同型であることを示す。
• 擬群の元が任意の開部分集合で恒等写像と一致するならば、その定義域全体で恒等的であることを保証する近傍 V ⊂ ℂ を構成する。
• ホロノミー写像とリーマン面上のループホモトピーを用いて、円板上での非恒等ホロノミーを検出することで、非自明な位相を特定する。
• 元のfoliation に接するが、N次の項まで保存するように1次形式を変形し、A²ᵏ⁺¹特異点型を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の可解的正則foliation で、字根分離子 {y² + x²ᵏ⁺¹ = 0} を持つ場合、そのリーマン面の位相は完全に特徴付け可能か？
• RQ2 このようなfoliation における非単純接続リーマン面の集合は可算であるか？また、それは無限大か？
• RQ3 一般の字根foliation のホロノミー擬群は、互いに交わらない軌道を持つ無限個の双曲的不動点を有するか？
• RQ4 共役類を保存しつつ、正則微分同相写像によって生成される擬群の自由性を達成できるか？
• RQ5 解析的位相における一般の共役が、自由な擬群構造を達成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 一般の可解的foliation で、字根分離子 {y² + x²ᵏ⁺¹ = 0} を持つ場合、非単純接続であるリーマン面は高々可算個である。
• この可算集合の非単純接続リーマン面は無限大であり、foliation理論における古典的未解決問題を解消する。
• 一般の場合、ホロノミー写像によって生成される擬群は、生成子の共役類が固定されていても、巡回群の自由積と同型である。
• 任意の非空開部分集合で恒等写像と一致する擬群の元が、その定義域全体で自明であるような、一様近傍 V ⊂ ℂ が存在する。
• V 内に、擬群作用のもとで互いに交わらない軌道を持つ無限個の擬群要素の双曲的不動点が存在する。
• リーマン面上の非自明なループに対応するホロノミー写像が、ある成分で恒等写像でないのは、そのループが g² と fᵏ⁺¹ の語にホモトープでない場合に限る。これは、非自明な位相を示している。