[论文解读] Modules formels locaux de feuilletages holomorphes
本文对二维复平面上一大类全纯1-形式的正式不变量提供了完整分类，引入了$ˆ{\mathrm{SL}}$-等单奇异形变（即保持局部形式类型与单值表示不变的等秩形变）的概念。通过显式的组合准则刻画了有限形式类型的1-形式（t.f.f.），并证明此类1-形式在二类1-形式空间中构成克鲁尔稠密的开子集。
We give a complete list of formal invariants for a large class of formal differential 1-forms $\w \in \Bbb C [[ x, y]]dx + \Bbb C [[ x, y]]dy$. \indent A $\hat{SL}$-equisingular deformation is an equireducible deformation which leaves invariant both the local formal types and the holonomy representation of the components of the exceptional divisor. We characterize the 1-forms with finite formal type (t.f.f), i.e. those which admit a semi-universal $\hat{SL}$-equisingular deformation, and we give an explicit combinatorial criterion of finiteness. \indent The set of 1-forms with finite formal type contains a dense open set (in the sense of Krull's topology)in the set of 1-forms of the second kind.
研究动机与目标
- 为二维复平面上一大类形式全纯1-形式提供其正式不变量的完整列表。
- 定义并研究$ˆ{\mathrm{SL}}$-等单奇异形变——即保持例外除子分支的局部形式类型与单值表示的等秩形变。
- 通过建立显式的组合有限性准则，刻画1-形式的有限形式类型（t.f.f.）。
- 证明有限形式类型1-形式的集合在二类1-形式空间中关于克鲁尔拓扑是克鲁尔稠密的。
- 确立有限形式类型1-形式存在半普遍的$ˆ{\mathrm{SL}}$-等单奇异形变。
提出的方法
- 利用解析树（爆破树）与对偶图分析全纯叶状结构的奇点。
- 引入与叶状结构$\mathcal{F}$相关联的完整骨架$\widehat{\mathfrak{N}}(\mathcal{F})$，其带有着色、加权与局部定向。
- 通过在解析化空间上拼接局部形变（邻域构造）的方法，应用形式形变理论。
- 利用单值表示与横截微分同胚，追踪形变过程中的不变量。
- 在解析过程上使用归纳法，沿解析树的链与主干逐步构建形变。
- 应用关于全纯形变族的全纯微分同胚的关键引理，以确保形变中非交换且非周期的单值单值性。
实验结果
研究问题
- RQ1对于$\mathbb{C}[[x,y]]$中一类典型全纯1-形式，其完整的正式不变量集合是什么？
- RQ2哪些1-形式允许存在半普遍的$ˆ{\mathrm{SL}}$-等单奇异形变？其特征是什么？
- RQ3能否给出一个组合准则，以判断某1-形式是否具有有限形式类型？
- RQ4在克鲁尔拓扑下，有限形式类型1-形式的集合是否在二类1-形式空间中稠密？
- RQ5在$ˆ{\mathrm{SL}}$-等单奇异形变下，单值表示与局部形式类型如何变化？
主要发现
- 为二维复平面上一大类全洁1-形式提供了正式不变量的完整列表。
- 本文引入并刻画了$ˆ{\mathrm{SL}}$-等单奇异形变，其为保持局部形式类型与单值表示的等秩形变。
- 1-形式具有有限形式类型（t.f.f.）当且仅当其解析树（即完整骨架）满足某一特定组合条件。
- 在克鲁尔拓扑下，有限形式类型1-形式的集合在二类1-形式空间中包含一个稠密开子集。
- 半普遍的$ˆ{\mathrm{SL}}$-等单奇异形变仅对t.f.f. 1-形式存在，其存在性由有限性准则所刻画。
- 形变的构造沿解析树逐步进行，通过全纯形式微分同胚族实现期望的单值行为。
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