[論文レビュー] Genus of numerical semigroups generated by three elements

Hirokatsu Nari, Takahiro Numata+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2011

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、3つの元で生成される非対称数値半群の genus の公式を確立し、Frobenius 数と αβγ または α′β′γ′ のいずれかに依存することを示している。これは β′b と αa の比較に依存する。主な結果は、αβγ = 1 または α′β′γ′ = 1 である場合に擬似対称半群が特徴付けられ、Frobenius 数が与えられた場合にそれらを分類するためのアルゴリズムが提示されている。

ABSTRACT

In this paper we study numerical semigroups generated by three elements. We give a characterization of pseudo-symmetric numerical semigroups. Also, we will give a simple algorithm to get all the pseudo-symmetric numerical semigroups with give Frobenius number.

研究の動機と目的

• 代数的不変量を用いて、3つの元で生成される非対称数値半群 H = <a,b,c> の genus を決定すること。
• そのような半群が擬似対称であるための条件を特定し、αβγ または α′β′γ′ が 1 に等しいことに関連付けること。
• Frobenius 数が固定された3生成の擬似対称数値半群をすべて生成するためのアルゴリズムを開発すること。
• 半群環の定義行列と、H の genus および対称性の性質との関係を明確にすること。

提案手法

• genus g(H) は、不等式 β′b > αa または β′b < αa に応じて、Frobenius 数 F(H) と方程式 2g(H) − (F(H) + 1) = αβγ または α′β′γ′ によって関連づけられる。
• 半群環 R = k[H] の定義イデアルは、α, β, γ, α′, β′, γ′ を含む 2×3 行列の最大小行列式によって生成される。
• 写像 φ: k[X,Y,Z] → k[t^a,t^b,t^c] の核 p を通じて、半群環 R = k[X,Y,Z]/p の構造を分析し、a, b, c を α, β, γ, α′, β′, γ′ の式として表現する公式を得る。
• 擬似対称半群の特徴付けは、タイプ t(H) = 2 であることに依存し、これは αβγ = 1 または α′β′γ′ = 1 のときに正確に成立する。
• 有効な三つ組 (α,β,γ) または (α′,β′,γ′) 全体をテストすることで、アルゴリズムを構築し、a,b,c が互いに素で、F(H) を与えられた Frobenius 数とする数値半群を生成する。
• 擬似Frobenius数の性質と半群環の a-不変量を用いた分析により、F(H) が H^1_m(R) 内の非可逆元の最大次数として特定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3生成の非対称数値半群の genus とその定義行列のパラメータ α, β, γ, α′, β′, γ′ の間の正確な関係は何か？
• RQ2 3生成の数値半群がいつ擬似対称であるか、そしてそれが代数的にどのように検出できるか？
• RQ3 Frobenius 数が固定されたすべての3生成の擬似対称数値半群を体系的に列挙することは可能か？
• RQ4 パラメータ α, β, γ, α′, β′, γ′ が半群が数値的でなくなる原因（例えば、共通因数の存在）となる条件は何か？

主な発見

• genus g(H) は、β′b > αa のとき 2g(H) − (F(H) + 1) = αβγ であり、β′b < αa のときは = α′β′γ′ である。
• 3生成の数値半群 H が擬似対称であるための必要十分条件は、αβγ = 1 または α′β′γ′ = 1 であることである。
• F(H) = 18 の場合、本稿では正確に2つの擬似対称半群が特定されている： <4,11,13> と <5,16,7>。
• F(H) が 12 で割り切れるとき、擬似対称半群が存在しない可能性がある。必要な条件は、F(H)/2 + 1 が 3 を法として 2 に合同な素因数を持つことである。
• この条件の逆は成り立たない最小の反例は F(H) = 1596 であり、F(H)/2 + 1 = 799 = 17×47（両方とも 3 を法として 2 に合同）であるが、有効な (α,β,γ) が存在して数値半群を生成しない。
• 半群 H が単純（最小生成元の意味で）であるための必要十分条件は β′ = γ = 1 であり、これは同時に H のタイプが 2 であることを意味する。