[論文レビュー] Geometric and topological aspects of Type IIB D-branes

Kim Laine|ArXiv.org|Dec 2, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 81被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非可換多様体におけるD-braneのchargeを記述するMinasian-Moore公式の非可換一般化を確立する。非可換時空間へのtwisted K理論およびChern特徴類の構成を、演算子K理論と循環ホモロジーを用いて拡張することで達成される。修正されたChern特徴類（平方根を含むTodd類を含む）が、K理論とHochschildホモロジーの間で等長写像を定めることを証明し、古典的なインデックス写像の一般化として、UCTおよび有限次元性の仮定の下で非可換幾何におけるD-brane chargeの分類フレームワークを提供する。

ABSTRACT

In string theory D-branes can be classified by the RR-charge they carry. In the simplest case the quantized RR-charge takes values in K-theory of the spacetime manifold. However, if the D-brane worldvolume is not spin^c or if there is a background B-field present, the Freed-Witten anomaly cancellation condition requires the RR-charge to take values in twisted K-theory. Twisted K-theory can be defined using the language of noncommutative geometry, thus opening up a possibility for noncommutative generalizations, in particular of the Minasian-Moore formula for the classical approximation of the charge (as was done in arXiv:hep-th/0607020v3). A friendly introduction to these topics is given.

研究の動機と目的

• D-braneのRR-chargeに関するMinasian-Moore公式を非可換時空間へ一般化すること。
• 演算子K理論を用いて、非可換D-brane世界面へのtwisted K理論およびChern特徴類形式を拡張すること。
• 修正されたChern特徴類を介して、K理論とHochschildホモロジーの間の非可換等長写像を確立すること。
• UCTおよび有限次元性の条件下で、非可換幾何におけるD-brane chargeの分類のための数学的枠組みを提供すること。
• 有限次元性の下で、非可換設定におけるTodd類の平方根を定義する技術的障害を、Jordan標準形および可逆行列理論を用いて解消すること。

提案手法

• 非可換代数へのtwisted K理論の一般化に、演算子K理論およびKK理論を用いる。
• 非可換幾何におけるPoincaré双対性同型を用いて、K理論とHochschildホモロジーを関連付ける。
• K理論類からHochschildホモロジーへの写像を定める修正Chern特徴類 $ \mathrm{Ch}(\alpha) := \mathrm{ch}(\alpha) \otimes_A \sqrt{\mathrm{Td}(A)} $ を導入する。
• universal coefficient theorem (UCT) を用いて、$ \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) $ 内でTodd類の平方根の存在を保証する。
• 有限次元性の下で、任意の可逆行列に対してJordan標準形を用いて平方根を構成し、$ \sqrt{\mathrm{Td}(A)} $ の存在を保証する。
• Gysin写像とChern特徴類を含む可換図式を構築し、等長写像性質の証明を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換時空間におけるD-brane RR-chargeのMinasian-Moore公式をどのように一般化できるか？
• RQ2 非可換幾何において、Todd類の平方根がどのような条件下で存在するか？
• RQ3 古典的なK理論とコホモロジーの間の等長写像は、非可換代数へどのように拡張可能か？
• RQ4 universal coefficient theorem (UCT) は、非可換Todd類の存在と一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 Poincaré双対性および循環ホモロジー構造は、非可換D-brane理論における古典的インデックス写像をどのように一般化するか？

主な発見

• UCTおよび有限次元性の仮定の下で、$ \mathrm{Ch}(\alpha) := \mathrm{ch}(\alpha) \otimes_A \sqrt{\mathrm{Td}(A)} $ は $ K_\bullet(A) $ から $ HL_\bullet(A) $ へのwell-definedな写像を定める。
• 任意の可逆行列 $ M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) $ に対して、$ \sqrt{M} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) $ が存在するため、$ \dim_{\mathbb{C}}(HL_\bullet(A)) < \infty $ の下で $ \sqrt{\mathrm{Td}(A)} $ の存在が保証される。
• 等長写像の公式が成立する：$ (\alpha, \beta)_K = \left( \mathrm{Ch}(\alpha), \mathrm{Ch}(\beta) \right)_H $ であり、これは古典的なインデックス写像を非可換幾何に一般化する。
• 非可換Minasian-Moore公式は $ QC(B, \xi) := \mathrm{ch}(\varphi_!(\xi)) \otimes_A \sqrt{\mathrm{Td}(A)} \in HL_\bullet(A) $ として定義され、$ \varphi: A \to B $ はK-向き付けられた $ \ast $-準同型である。
• $ A $ および $ \widehat{A} $ がUCTを満たし、Hochschildホモロジーが有限次元であるとき、写像 $ (x, y)_H := (x \otimes y) \otimes_{A \otimes \widehat{A}} \Xi $ は非退化である。
• $ A = C(X) $、$ \widehat{A} = C(X) $、$ \Xi $ が循環基本類であるとき、$ X $ がSpinc多様体である可換な場合の古典的等長写像が回復される。