[論文レビュー] Homology of formal deformations of proper etale Lie groupoids

Nikolai Neumaier, Markus J. Pflaum+2 more|ArXiv.org|Dec 22, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、固有なエタールリー群コホモロジーに付随する畳み込み代数の形式的変形量子化のホッフシュィルトおよびサイクリック（余）コホモロジーを計算し、インertリア群コホモロジーの層コホモロジーを通じてサイクリック余コホモロジーが軌道体コホモロジーに同型であることを示している。変形された代数上のトレースの類型は、形式的べき級数環における零番目の軌道体コホモロジー群のテンソル積に同型であり、フェドソフ、シュルツェ、タルカノフのトレースの構造に関する予想は、すべての固定点群がアーベル群である場合にのみ成り立つことを証明している。

ABSTRACT

In this article, the cyclic homology theory of formal deformation quantizations of the convolution algebra associated to a proper etale Lie groupoid is studied. We compute the Hochschild cohomology of the convolution algebra and express it in terms of alternating multi-vector fields on the associated inertia groupoid. We introduce a noncommutative Poisson homology whose computation enables us to determine the Hochschild homology of formal deformations of the convolution algebra. Then it is shown that the cyclic (co)homology of such formal deformations can be described by an appropriate sheaf cohomology theory. This enables us to determine the corresponding cyclic homology groups in terms of orbifold cohomology of the underlying orbifold. Using the thus obtained description of cyclic cohomology of the deformed convolution algebra, we give a complete classification of all traces on this formal deformation, and provide an explicit construction.

研究の動機と目的

• 固有なエタールリー群コホモロジーに対する畳み込み代数の形式的変形量子化のホッフシュィルトおよびサイクリック（余）コホモロジーを計算すること。
• 半古典的極限におけるホッフシュィルトホモロジーを捉える非可換ポアソンホモロジーを導入し、計算すること。
• 変形された代数のサイクリックコホモロジーをインテリア群コホモロジー上の層コホモロジーを通じて軌道体コホモロジーと関連付けること。
• 変形された代数上のすべてのトレースを分類し、フェドソフ、シュルツェ、タルカノフによるトレース空間の構造に関する予想を検証すること。

提案手法

• ħ-adicフィルトレーションをホッフシュィルト複体に適用し、E1項が非可換ポアソンホモロジーであるスペクトル系列を定義する。
• テレマンの局在化技術を用いて、ホッフシュィルトコホモロジーをインテリア群コホモロジー上の多ベクトル場の層コホモロジーと関連付ける。
• ブリリニスキのポアソンホモロジーの一般化として、インテリア群コホモロジー上の複体の層ホモロジーを用いて計算される非可換ポアソンホモロジーを導入する。
• コンネス、ブルヘレ、ブリリニスキ、ニストル、クレインイクらの局在化技術に依拠し、量子化された代数のホッフシュィルトおよびサイクリックホモロジーを計算する。
• 基底空間上の複素表現層係数の層コホモロジーとして実現される、軌道体コホモロジーと変形代数のサイクリックコホモロジーとの同型を確立する。
• モリタ同値性を用いて、還元された場合の完全な変形クロス積代数を不変部分代数と関連付け、コホモロジー的不変量を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有なエタールリー群コホモロジーの畳み込み代数のホッフシュィルトコホモロジーは、インテリア群コホモロジー上の幾何的データを用いてどのように計算できるか？
• RQ2 変形代数の非可換ポアソンホモロジーの構造は何か？ そして、ホッフシュィルトホモロジーの半古典的極限とどのように関係するか？
• RQ3 形式的変形量子化のサイクリック（余）コホモロジーは、どのように軌道体コホモロジーと関連するか？
• RQ4 変形群コホモロジー代数上のトレースの完全な分類は何か？ そして、固定点群の幾何とどのように関係するか？
• RQ5 フェドソフ、シュルツェ、タルカノフによるピカード群の作用に関する予想は、どのような条件下で成り立つか？

主な発見

• 畳み込み代数のホッフシュィルトコホモロジーは、インテリア群コホモロジー上の交代的多ベクトル場の層コホモロジーに同型である。
• 変形代数の非可換ポアソンホモロジーは、インテリア群コホモロジー上の複体の層ホモロジーとして計算され、ħ-adicフィルトレーションに関連するスペクトル系列のE1項として現れる。
• 形式的変形量子化のサイクリックコホモロジーは、複素化された表現層係数の基底空間上の層コホモロジーとして実現される軌道体コホモロジーに同型である。
• 変形代数上のトレース空間は、H⁰_orb(X, ℂ)⊗ℂ((ħ))に同型であり、これはLerayスペクトル系列を介してH⁰(X, ℝℂ)に同型である。
• フェドソフ、シュルツェ、タルカノフの予想は、すべての固定点群がアーベル群である場合にのみ成り立つ。なぜなら、そのときのみ、既約表現が1次元であることから、ピカード群の像がトレース空間の基底をなすからである。
• 還元された場合、完全な変形クロス積代数は不変部分代数とモリタ同値であり、サイクリックコホモロジーとトレース構造を保存する。