[论文解读] Incremental Topological Ordering and Strong Component Maintenance

Bernhard Haeupler, Siddhartha Sen+1 more|ArXiv.org|Mar 6, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文提出了一种增量算法，用于在弧被逐步添加时维护有向图中的拓扑序和强连通分量，实现每个弧添加操作的摊销时间复杂度为最优的 $O(m^{1/2})$。通过在双向搜索框架中用近似中位数查找或随机选择替代堆，该方法避免了优先队列的使用，并为稀疏图实现了紧致的时间界。

ABSTRACT

We present an on-line algorithm for maintaining a topological order of a directed acyclic graph as arcs are added, and detecting a cycle when one is created. Our algorithm takes O(m^{1/2}) amortized time per arc, where m is the total number of arcs. For sparse graphs, this bound improves the best previous bound by a logarithmic factor and is tight to within a constant factor for a natural class of algorithms that includes all the existing ones. Our main insight is that the bidirectional search method of previous algorithms does not require an ordered search, but can be more general. This allows us to avoid the use of heaps (priority queues) entirely. Instead, the deterministic version of our algorithm uses (approximate) median-finding. The randomized version of our algorithm avoids this complication, making it very simple. We extend our topological ordering algorithm to give the first detailed algorithm for maintaining the strong components of a directed graph, and a topological order of these components, as arcs are added. This extension also has an amortized time bound of O(m^{1/2}) per arc.

研究动机与目标

• 解决在有向无环图中通过逐步添加弧来高效维护拓扑序的挑战。
• 改进先前使用堆或优先队列的算法，这些算法引入了对数级别的开销。
• 将算法扩展至在弧逐步添加下维护强连通分量及其拓扑序。
• 实现每个弧添加操作的紧致 $O(m^{1/2})$ 摊销时间界，与该类算法的理论下界一致。
• 提供一种简洁、确定性的算法，使用近似中位数查找，并提供一种避免复杂数据结构的随机化变体。

提出的方法

• 将双向搜索中传统的有序搜索替换为一种不依赖于维护全序关系的相容搜索方法。
• 使用近似中位数查找动态维护顶点顺序，而无需依赖堆或优先队列。
• 应用一种随机化变体，用随机选择替代中位数查找，简化算法的同时保持 $O(m^{1/2})$ 的时间界。
• 基于关键顶点（如新弧的源点和目标点）的最大路径长度来维护顶点编号，从而实现高效的重新排序。
• 使用基于块的动态列表结构，其中共享相同编号的顶点被组织为块，支持高效的更新和批量操作。
• 通过相容搜索检测连通分量的变化，并增量式地重新计算分量的拓扑结构，将方法扩展至强连通分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将增量拓扑序中使用的双向搜索方法推广，以避免对有序搜索和优先队列的依赖？
• RQ2 在稀疏图中，通过逐步添加弧来维护拓扑序的最优摊销时间复杂度是多少？
• RQ3 相同的框架能否扩展至在相同时间界下维护强连通分量及其拓扑序？
• RQ4 对于一类自然的增量算法，$O(m^{1/2})$ 时间界是否是紧致的？
• RQ5 能否使用近似中位数查找或随机选择替代堆，同时保持正确性和效率？

主要发现

• 所提出的算法实现了每个弧添加操作 $O(m^{1/2})$ 的摊销时间界，对于一类自然的算法而言，该界在常数因子内是最优的。
• 确定性版本通过使用近似中位数查找避免了堆的使用，与先前依赖优先队列的方法相比，显著降低了开销。
• 随机化变体通过用随机选择替代中位数查找，简化了算法，同时保持了相同的时间界。
• 该算法可扩展至强连通分量维护，每个弧添加操作的摊销时间仍为 $O(m^{1/2})$。
• 该方法完全避免了优先队列的使用，而这是先前方法中的关键性能瓶颈。
• 基于块的动态列表结构支持高效的顶点重新排序和批量操作，同时保持了时间界。