[論文レビュー] Invertibility of Submatrices of Pascal's Matrix and Birkhoff Interpolation

Scott N. Kersey|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は2点Birkhoff補間の観点から、パスカル行列の部分行列の可逆性に関する必要十分条件を確立する。可逆性は、微分評価点のインシデント行列におけるポリア条件に等価であり、0および1における微分関数型に基づく一般化されたバーデルモンデ型行列式に古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

The infinite upper triangular Pascal matrix is $T = [\binom{j}{i}]$ for $0\leq i,j$. It is easy to see that any leading principle square submatrix is triangular with determinant $1$, hence invertible. In this paper, we investigate the invertibility of arbitrary square submatrices $T_{r,c}$ comprised of rows $r=[r_0,\ldots,r_m]$ and columns $c=[c_0,\ldots,c_m]$ of $T$. We show that $T_{r,c}$ is invertible iff $r \leq c$ (i.e., $r_i \leq c_i$ for $i=0, \ldots, m$), or equivalently, iff all diagonal entries are nonzero. To prove this result we establish a connection between the invertibility of these submatrices and polynomial interpolation. In particular, we apply the theory of Birkhoff interpolation and \polya{} systems.

研究の動機と目的

• 補間理論を用いてパスカル行列の部分行列の可逆性を特徴づける。
• これらの部分行列の構造を、0および1における微分に基づく一般化されたバーデルモンデ系に結びつける。
• Birkhoff補間におけるインシデント行列を通じて、可逆性の必要十分条件を特定する。
• 2点補間問題の可解性を保証するポリア条件の役割を形式化する。
• 古典的なバーデルモンデ行列式の結果を、高階微分に基づく補間設定に拡張する。

提案手法

• インシデント行列Eを、正確にn+1個の1を持つ2×(n+1)のバイナリ行列として定義し、δxiDjの関数型が含まれるかどうかを表す。
• 累積列和Mj = ∑i=0^1 ∑k=0^j eikを導入し、列jまでに含まれる関数型の数を追跡する。
• ポリア条件を適用：すべてのj = 0からmについてMj > jとし、補間系が一意に解けることを保証する。
• 補間行列ΛTの可逆性とポリア条件との同値性を用いる。
• フェルガソン（1969）、ポリア（1931）、ホッティンガ（1935）の結果を活用して主要定理を証明する。
• パスカル行列における部分行列の選択を、行および列インデックスrとcを介してBirkhoff補間問題に写像し、Er,¯cを補間系のインシデント行列として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パスカル行列の部分行列がどのような条件下で可逆になるか？
• RQ2 0および1における微分関数型の構造は、このような部分行列の可逆性にどのように影響するか？
• RQ3 インシデント行列は、2点Birkhoff補間問題の可解性を特徴づける上でどのような役割を果たすか？
• RQ4 微分評価の配置に、可逆性を保証する組合せ論的条件が存在するか？
• RQ5 ポリア条件は、補間行列のランクおよび行列式とどのように関係するか？

主な発見

• パスカル行列の部分行列Tr,¯cは、関連するインシデント行列Er,¯cがポリア条件：すべてのj = 0, ..., mについてMj > jを満たす場合に限り可逆である。
• 累積列和Mjは、列jまでに含まれる関数型δxiDjの数を数え、ポリア条件により各段階での十分な関数型カバレッジが保証される。
• インシデント行列のアプローチにより、可逆な補間系をもたらす微分評価集合の体系的分類が可能になる。
• この結果は、0および1における高階微分に基づく補間に一般化された古典的バーデルモンデ行列式理論を拡張する。
• ポリア条件は、補間行列ΛTの可逆性にとって必要かつ十分であり、パスカル行列の部分行列に対応する。
• 本稿は、ポリア条件が、Πn空間上で定義された2点Birkhoff補間問題における一意解の存在と同値であることを確認する。