[論文レビュー] Isolated and nilpotent subsemigroups in the variants of $\IS$

Galyna Tsyaputa|ArXiv.org|Aug 20, 2005

semigroups and automata theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、逆対称半群 $\mathcal{IS}_n$ の変種における砂時計乗法の下で、孤立、完全孤立、および冪零部分半群を完全に分類している。最大冪零部分半群の度数 $k$ は、特定の集合の順序付き $A$-分割と一対一対応しており、同型型は $k=2$ の場合、ブロックサイズの多重集合またはその逆、$k>2$ の場合、サイズタプルそのものによって決定される。分類は、イデムポテンの構造的解析および砂時計演算の順序論的性質に依拠している。

ABSTRACT

All isolated, completely isolated, and nilpotent subsemigroups in the semigroup $\IS$ of all injective partial transformations of an $n$-element set, considered as a semigroup with a sandwich multiplication are described.

研究の動機と目的

• 逆対称半群 $\mathcal{IS}_n$ の変種における砂時計乗法の下で、すべての孤立および完全孤立部分半群を特徴づけること。
• これらの変種における冪零部分半群の構造、特に与えられた冪零度 $k$ のものについて、完全に記述すること。
• ブロックサイズ構成の分析により、最大冪零部分半群の同型型を特定すること。

提案手法

• 非恒等イデムポテン $\alpha$ を用いて、$\mathcal{IS}_n$ の変種を $x *_{\alpha} y = x\alpha y$ として定義する。
• 変種半群におけるイデムポテンの同定を、$\operatorname{dom}(\alpha)$ に含まれる定義域を持つものとして行い、構造的分解を可能にする。
• 最大冪零部分半群をパrametrizeするため、$M = \overline{A}^{(1)} \cup A \cup \overline{A}^{(2)}$ の順序付き $A$-分割の定義。
• 各 $i < j$ のときのみ $M_i$ から $M_j$ への部分置換からなる集合 $T(M_1, \dots, M_k)$ を構成し、度数 $k$ の冪零性を保証する。
• 部分半群 $S$ に関連する順序関係 $\Lambda_S$ を用い、その構造を $M$ の分割に結びつけ、順序型の最大性により最大性を証明する。
• 既知の $\mathcal{IS}(M)$ の冪零部分半群に関する結果を応用し、ブロックサイズタプルに基づく同型および反同型条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\mathcal{IS}_n, *_{\alpha})$ における孤立および完全孤立部分半群の完全な構造は何か？
• RQ2 砂時計変種における与えられた冪零度 $k$ の冪零部分半群は、どのように特徴づけられるか？
• RQ3 2つの最大冪零部分半群が度数 $k$ で同型または反同型であるための条件は何か？

主な発見

• $(\mathcal{IS}_n, *_{\alpha})$ における唯一の完全孤立部分半群は $\mathcal{C}_A$、$\mathcal{IS}_n$ におけるその補集合、および全体半群である。
• 度数 $k$ の最大冪零部分半群は、集合 $M = \overline{A}^{(1)} \cup A \cup \overline{A}^{(2)}$ の順序付き $A$-分割 $M = M_1 \cup \cdots \cup M_k$ と一対一対応する。
• 各部分半群 $T(M_1, \dots, M_k)$ は、分割のブロック上の順序関係の生成する単生成部分半群 $\operatorname{Mon}(\operatorname{ord}(M_1, \dots, M_k))$ に等しい。
• $k=2$ の場合、2つの最大冪零部分半群が同型であるための必要十分条件は、それらのサイズタプルが等しいか、互いに逆順であることである。$k>2$ の場合、同型はサイズタプルが同一である場合に限り成立する。
• 2つの部分半群の間で反同型が成立するのは、それらのサイズタプルが互いに逆順である場合に限り成立する。
• 部分半群 $S$ のタイプ、すなわち $k$-タプル $(|M_1|, \dots, |M_k|)$ は、$k>2$ の場合、その同型類を完全に決定し、$k=2$ の場合、その反同型類を完全に決定する。