[论文解读] L^2-Betti numbers of coamenable quantum groups

David Kyed|ArXiv.org|Apr 12, 2007

Advanced Operator Algebra Research被引用 10

一句话总结

本文通过引入量子群的Følner型条件，并证明共可容性蕴含其包络冯诺依曼代数关于矩阵系数的霍普夫*-代数的维数平坦性，建立了具有迹性哈尓测度的共可容紧量子群在所有正度数下 $L^2$-贝蒂数为零的结论。关键贡献是将Lück的维数平坦性定理推广至量子群情形，将经典情形下可容群的 $L^2$-贝蒂数为零的结果推广至量子设置。

ABSTRACT

We prove that a compact quantum group is coamenable if and only if its corepresentation ring is amenable. We further propose a Foelner condition for compact quantum groups and prove it to be equivalent to coamenability. Using this Foelner condition, we prove that for a coamenable compact quantum group with tracial Haar state, the enveloping von Neumann algebra is dimension flat over the Hopf algebra of matrix coefficients. This generalizes a theorem of Lueck from the group case to the quantum group case, and provides examples of compact quantum groups with vanishing L^2-Betti numbers.

研究动机与目标

• 将Lück的维数平坦性定理从离散群推广至紧量子群。
• 为紧量子群定义并刻画一种Følner型条件，使其与共可容性等价。
• 建立具有迹性哈尓测度的共可容紧量子群在所有正度数下 $L^2$-贝蒂数为零的结论。
• 阐明紧量子群的共可容性与其核心表示环的可容性之间的关系。
• 通过半直积构造方法，提供新的具有平凡 $L^2$-贝蒂数的量子群例子。

提出的方法

• 通过将Hiai与Izumi对融合代数的Følner型条件推广至非有限生成情形，为紧量子群引入Følner条件。
• 证明紧量子群共可容当且仅当其核心表示环可容，从而在共可容性与代数可容性之间建立桥梁。
• 利用Følner条件证明其包络冯诺依曼代数 $M$ 关于矩阵系数的霍普夫 $*$-代数 $A_0$ 是维数平坦的。
• 应用Lück的扩展Murray-von Neumann维数函数，通过 $\dim_M \operatorname{Tor}_p^{A_0}(M, \mathbb{C})$ 计算 $L^2$-贝蒂数，推广经典群情形的结果。
• 利用双半直积与扭量半直积构造紧量子群与可容离散群的半直积，生成新的共可容量子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种适用于紧量子群的Følner型条件，能刻画其共可容性？
• RQ2 紧量子群的共可容性是否蕴含其包络冯诺依曼代数关于矩阵系数代数的维数平坦性？
• RQ3 与可容群情形类似，共可容紧量子群的 $L^2$-贝蒂数是否在所有正度数下为零？
• RQ4 核心表示环的可容性与底层量子群的共可容性之间有何关系？
• RQ5 在量子群设置下，半直积构造是否保持共可容性与迹性哈尓测度？

主要发现

• 紧量子群共可容当且仅当其核心表示环可容，将经典群论结果推广至量子情形。
• 为紧量子群定义的Følner型条件与共可容性等价，提供了共可容性的几何分析刻画。
• 对于具有迹性哈尓测度的共可容紧量子群，其包络冯诺依曼代数 $M$ 关于霍普夫代数 $A_0$ 是维数平坦的，推广了Lück在群情形的结果。
• 由此可得，对所有 $p \geq 1$ 有 $\dim_M \operatorname{Tor}_p^{A_0}(M, \mathbb{C}) = 0$，意味着所有正度数的 $L^2$-贝蒂数为零。
• 将共可容紧量子群与可容离散群进行半直积构造后，结果仍为共可容且紧的量子群，从而产生新的具有平凡 $L^2$-贝蒂数的量子群例子。
• 将可容离散群与共可容紧量子群进行双半直积构造，可得到一个仍是紧且共可容的Kac代数，且保持迹性哈尓测度。