[论文解读] Lagrangian fibrations on generalized Kummer varieties

Martin G. Gulbrandsen|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 7

一句话总结

该论文证明了，与一个 Picard 数为 1 的主极化阿贝尔曲面 $A$ 相关联的广义 Kummer 品面 $K^nA$ 当且仅当 $n$ 为完全平方数时， admits 一个有理拉格朗日纤维化结构，其底空间为 $\mathbb{P}^{n-1}$。该纤维化通过秩为 1、度为 0 的层上的傅里叶-穆凯伊变换构造，其存在性等价于存在一个贝乌维尔-波戈莫洛夫形式为零的除子，而这种情况恰好发生在 $n$ 为完全平方数时。

ABSTRACT

We investigate the existence of Lagrangian fibrations on the generalized Kummer varieties of Beauville. For a principally polarized abelian surface A of Picard number one we find the following: The Kummer variety K^n(A) is birationally equivalent to another irreducible symplectic variety admitting a Lagrangian fibration, if and only if n is a perfect square. And this is the case if and only if K^n(A) carries a divisor with vanishing Beauville-Bogomolov square.

研究动机与目标

• 确定与一个 Picard 数为 1 的主极化阿贝尔曲面 $A$ 相关联的广义 Kummer 品面 $K^nA$ 在什么条件下 admits 一个有理拉格朗日纤维化结构，其底空间为 $\mathbb{P}^{n-1}$。
• 研究此类纤维化存在性与 $K^nA$ 上除子的贝乌维尔-波戈莫洛夫形式之间的关系。
• 建立一个精确条件——即 $n$ 为完全平方数——以确保纤维化的存在。
• 通过 $A$ 及其对偶 $\widehat{A}$ 上的层模空间与傅里叶-穆凯伊变换，提供纤维化的几何构造。

提出的方法

• 通过 $A$ 上秩为 1、第一陈类为 $[C]$ 的层上的傅里叶-穆凯伊变换，构造一个有理纤维化 $f: K^nA \dashrightarrow |\widehat{C}| \cong \mathbb{P}^{n-1}$，其中 $C$ 是一个亏格为 $n+1$ 的曲线。
• 利用基变换定理与弱指标定理，确保 $A$ 上层 $\mathcal{E}$ 的傅里叶-穆凯伊变换生成 $\widehat{A}$ 上一个具有明确定义上同调性质的层 $\widehat{\mathcal{E}}$。
• 定义映射 $F: M_{\widehat{A}}(0,[\widehat{C}],-1) \to P = \mathbb{P}(\widehat{\mathcal{O}_A(C)}^\vee)$，将每个层映射为其弗里特理想，从而在 $|\widehat{C}|$ 中定义一条曲线，进而在 Kummer 品面上诱导出一个纤维化。
• 证明该纤维化是正则的，且一般纤维是连通的，通过将其识别为 $|\widehat{C}|$ 中非奇异曲线 $D$ 的雅可比簇 $J^{n-1}(D)$，这些曲线通过求和映射映射到 $\widehat{A}$。
• 证明 $K^nA$ 上除子 $D = rH + s\epsilon$ 的贝乌维尔-波戈莫洛夫形式为零当且仅当 $n = m^2$，使用恒等式 $q(D) = 2r^2 - 2s^2n = 0$。
• 通过傅里叶-穆凯伊变换建立 $K^nA$ 与另一个不可约辛品面之间的双有理等价，证明该纤维化结构在双有理等价下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 与一个 Picard 数为 1 的主极化阿贝尔曲面 $A$ 相关联的广义 Kummer 品面 $K^nA$ 在什么条件下 admits 一个有理拉格朗日纤维化结构，其底空间为 $\mathbb{P}^{n-1}$？
• RQ2 在 $K^nA$ 上存在一个贝乌维尔-波戈莫洛夫平方为零的除子，其与 $n$ 的算术性质之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否通过层的模空间与傅里叶-穆凯伊变换，几何地构造 $K^nA$ 上的纤维化结构？
• RQ4 对于此类 $A$，该纤维化结构的存在性是否等价于 $n$ 为完全平方数？
• RQ5 由傅里叶-穆凯伊变换诱导的双有理等价是否可提升为同构，还是仅为 Mukai 初等变换？

主要发现

• 广义 Kummer 品面 $K^nA$ 当且仅当 $n$ 为完全平方数时， admits 一个有理拉格朗日纤维化结构，其底空间为 $\mathbb{P}^{n-1}$。
• 该纤维化通过 $A$ 上秩为 1、度为 0 的层上的傅里叶-穆凯伊变换构造，其对偶曲线类 $\widehat{C}$ 在 $\widehat{A}$ 上诱导出纤维化的底空间。
• 在 $K^nA$ 上存在一个贝乌维尔-波戈莫洛夫形式为零的除子 $D$，其等价于 $n$ 为完全平方数。
• 当 $n = m^2$ 时，曲线 $C = mH \subset A$ 的亏格为 $n+1$，满足定理 1.3 的条件，从而支持纤维化的构造。
• 除子 $D = rH + s\epsilon$ 在 $K^nA$ 上的贝乌维尔-波戈莫洛夫形式为零当且仅当 $2r^2 = 2s^2n$，这意味着 $n = (r/s)^2$，因此 $n$ 必须为完全平方数。
• 在 $K^nA$ 与模空间 $M_{\widehat{A}}(0,[\widehat{C}],-1)$ 之间的双有理等价在某个开稠密子集上是同构，且纤维化在 Kummer 品面上限制为一个正则纤维化。