[論文レビュー] Linear Sum Assignment with Edition

Sébastien Bougleux, Luc Brun|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Graph Theory and Algorithms参考文献 17被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、編集を伴う線形和割り当て問題の新しい定式化を提示する。標準的な割り当てモデルを部分的割り当ておよびイプシロン（ε）要素を扱えるように拡張するため、緩和された行列表現を用いる。ε-割り当てを（n+1）×（m+1）のバイナリ行列としてモデル化し、緩和された行および列の和制約を満たすことで、構造的整合性を保ちつつ柔軟で不完全なマッチングを可能にする。双対グラフおよび隣接行列の同値性を通じて、このアプローチは、部分的割り当てを効率的に表現可能である。

ABSTRACT

We consider the problem of transforming a set of elements into another by a sequence of elementary edit operations, namely substitutions, removals and insertions of elements. Each possible edit operation is penalized by a non-negative cost and the cost of a transformation is measured by summing the costs of its operations. A solution to this problem consists in defining a transformation having a minimal cost, among all possible transformations. To compute such a solution, the classical approach consists in representing removal and insertion operations by augmenting the two sets so that they get the same size. This allows to express the problem as a linear sum assignment problem (LSAP), which thus finds an optimal bijection (or permutation, perfect matching) between the two augmented sets. While the LSAP is known to be efficiently solvable in polynomial time complexity, for instance with the Hungarian algorithm, useless time and memory are spent to treat the elements which have been added to the initial sets. In this report, we show that the problem can be formalized as an extension of the LSAP which considers only one additional element in each set to represent removal and insertion operations. A solution to the problem is no longer represented as a bijection between the two augmented sets. We show that the considered problem is a binary linear program (BLP) very close to the LSAP. While it can be solved by any BLP solver, we propose an adaptation of the Hungarian algorithm which improves the time and memory complexities previously obtained by the approach based on the LSAP. The importance of the improvement increases as the size of the two sets and their absolute difference increase. Based on the analysis of the problem presented in this report, other classical algorithms can be adapted.

研究の動機と目的

• 線形和割り当て問題における部分的割り当てとイプシロン要素の形式的定式化。
• 標準的な置換行列の制約を緩和し、不完全または欠落した割り当てを許容する。
• （n+1）×（m+1）のバイナリ行列を用いたε-割り当ての行列ベースの表現の提供。
• ε-割り当てと完全双対グラフKn+1,m+1の部分グラフとの同値性の確立。
• すべての要素がマッチングされなくてもよい割り当て問題の効率的モデリングの実現

提案手法

• ε-割り当てを（n+1）×（m+1）のバイナリ行列Xとして表現し、緩和された行および列の和制約を満たす。
• 最初のn行の各行にちょうど1つの1を配置（各u_iが、最大1つのv_jまたはεに割り当てられるように）。
• 最初のm列の各列にちょうど1つの1を配置（各v_jが、最大1つのu_iまたはεに割り当てられるように）。
• x_{n+1,m+1} = 1を固定して、イプシロン要素εが少なくとも1つのv_jに割り当てられることを保証。
• 隣接行列Xを用いて、完全双対グラフKn+1,m+1の部分グラフG = （（Uϵ, Vϵ）, E）をモデル化。
• 制約（15）を満たす任意の行列Xが、（16）に示される写像を通じて有効なε-割り当てφに対応することを保証

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な線形和割り当て問題は、どのように部分的割り当てとイプシロン要素を許容するように拡張できるか？
• RQ2 緩和された割り当て枠組みにおいて、ε-割り当てを表現するために必要なおよび十分な行列制約は何か？
• RQ3 イプシロンノードの導入は、割り当て行列の構造およびその双対グラフ表現にどのように影響を与えるか？
• RQ4 緩和された制約を満たす任意の（n+1）×（m+1）のバイナリ行列は、有効なε-割り当てに写像可能か？
• RQ5 Kn+1,m+1の部分グラフの隣接行列と、対応するε-割り当てとの関係は何か？

主な発見

• すべての有効なε-割り当ての集合は、式（15）に従う（n+1）×（m+1）のバイナリ行列の集合に正確に一致する。
• 行列Xの最初のn行の各行には、ちょうど1つの1が存在し、各u_iが最大1つのv_jまたはεに割り当てられることを保証する。
• 行列Xの最初のm列の各列には、ちょうど1つの1が存在し、各v_jが最大1つのu_iまたはεに割り当てられることを保証する。
• Xの最後の行および最後の列は緩和された制約を満たす：1 ≤ 最終行の和 ≤ n+1 および 1 ≤ 最終列の和 ≤ m+1。
• x_{n+1,m+1} = 1により、εは常に少なくとも1つのv_jに割り当てられる。
• ε-割り当てと、式（15）を満たす隣接行列をもつKn+1,m+1の部分グラフとの間に一対一対応が存在する