[论文解读] Max-size popular matchings and extensions

Telikepalli Kavitha|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文证明了在具有严格偏好列表的非二分图室友问题中，计算最大大小的流行匹配是 NP-难问题，这与二分图中多项式时间可解形成对比。本文引入了强主导匹配——通过满足特定阻塞边和负边约束的顶点划分 (L, R) 定义——并提出一种线性时间算法来计算此类匹配，从而在非二分图设置中提供了一类可高效计算的最大大小流行匹配的可 tractable 子类。

ABSTRACT

We consider the max-size popular matching problem in a roommates instance G = (V,E) with strict preference lists. A matching M is popular if there is no matching M' in G such that the vertices that prefer M' to M outnumber those that prefer M to M'. We show it is NP-hard to compute a max-size popular matching in G. This is in contrast to the tractability of this problem in bipartite graphs where a max-size popular matching can be computed in linear time. We define a subclass of max-size popular matchings called strongly dominant matchings and show a linear time algorithm to solve the strongly dominant matching problem in a roommates instance. We consider a generalization of the max-size popular matching problem in bipartite graphs: this is the max-weight popular matching problem where there is also an edge weight function w and we seek a popular matching of largest weight. We show this is an NP-hard problem and this is so even when w(e) is either 1 or 2 for every edge e. We also show an algorithm with running time O*(2^{n/4}) to find a max-weight popular matching matching in G = (A U B,E)$ on n vertices.

研究动机与目标

• 确定在具有严格偏好列表的室友问题实例中寻找最大大小流行匹配的计算复杂度。
• 识别非二分图中流行匹配的可 tractable 子类，以实现高效计算。
• 将流行匹配的研究从稳定匹配始终存在的二分图扩展到非二分图设置，其中稳定性可能不成立。
• 研究在边权为小整数时，二分图中最大权重流行匹配问题的复杂度。

提出的方法

• 通过满足四个结构约束的顶点划分 (L, R) 引入室友问题中强主导匹配的概念：M ⊆ L×R，M 匹配 R 中所有顶点，所有阻塞边属于 R×R，且所有 L×L 中的边对 M 为负。
• 证明强主导匹配是 L×R 诱导子图中的 R-完美稳定匹配，从而可通过二分图稳定匹配算法实现高效计算。
• 通过迭代构建划分 (L, R) 并利用偏好顺序和边类型验证约束，开发一种线性时间算法来计算强主导匹配。
• 将二分图中的最大权重流行匹配问题约化为流行匹配问题的加权变种，证明即使边权属于 {1, 2}，该问题仍为 NP-难。
• 提出一种时间复杂度为 O*(2^{n/4}) 的算法，用于在具有 n 个顶点的二分图中计算最大权重流行匹配，采用基于顶点子集的动态规划方法。
• 使用势函数和基于数组的成本分析（通过 T_a 和 T_b 数组）验证对偶变量 α^t_u 在所有时间点 t ∈ [0, 1) 上满足成本约束，从而确保解在松弛框架中的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有严格偏好列表的室友问题实例中，计算最大大小流行匹配的问题是否为 NP-难？
• RQ2 是否可以在非二分图中识别出最大大小流行匹配的可 tractable 子类，以实现多项式时间计算？
• RQ3 当边权被限制为 {1, 2} 时，二分图中最大权重流行匹配问题的复杂度如何？
• RQ4 是否存在一种线性时间算法来计算室友问题实例中的强主导匹配？
• RQ5 是否可以利用强主导匹配的结构来设计非二分图设置中更大类流行匹配的高效算法？

主要发现

• 在具有严格偏好列表的室友问题实例中，最大大小流行匹配问题是 NP-难的，即使在存在稳定匹配的实例中也是如此。
• 强主导匹配可在室友问题实例中以线性时间计算，为最大大小流行匹配提供了一类可高效计算的子类。
• 在边权属于 {1, 2} 的情况下，二分图中的最大权重流行匹配问题是 NP-难的。
• 提出一种运行时间为 O*(2^{n/4}) 的算法，用于在具有 n 个顶点的二分图中计算最大权重流行匹配。
• 非二分图中强主导匹配的存在性由满足四个结构约束的顶点划分 (L, R) 所刻画，从而支持高效验证与构造。
• 基于 T_a 和 T_b 数组的对偶变量分析确认，所有时间点 t ∈ [0, 1) 上的成本约束均被满足，确保了解在松弛框架中的有效性。