[論文レビュー] Multiplicity one for min-max theory in compact manifolds with boundary and its applications

Ao Sun, Zhichao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 51被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、次元 3 から 7 のコンパクト多様体（境界付き）におけるミニマム・マックス自由境界最小超曲面の多重度1定理を確立する。一般の計量のもとで、各 $k$-番目の幅 $\omega_k(M;g)$ が、多重度1の埋め込まれ、両面的、連結な自由境界最小超曲面の互いに交わらない和集合によって実現されることを証明する。著者らは、モース指数の上限を伴う一般のミニマム・マックス理論を構築し、単位球内における新しい自由境界最小超曲面および任意に大きなエントロピーを持つ自己収縮子の構成に応用する。

ABSTRACT

We prove the multiplicity one theorem for min-max free boundary minimal hypersurfaces in compact manifolds with boundary of dimension between 3 and 7 for generic metrics. To approach this, we develop existence and regularity theory for free boundary hypersurface with prescribed mean curvature, which includes the regularity theory for minimizers, compactness theory, and a generic min-max theory with Morse index bounds. As applications, we construct new free boundary minimal hypersurfaces in the unit balls in Euclidean spaces and self-shrinkers of the mean curvature flows with arbitrarily large entropy.

研究の動機と目的

• 境界付きコンパクト多様体におけるミニマム・マックス自由境界最小超曲面の多重度1予想を確立すること。
• モース指数の上限を伴う自由境界 $h$-超曲面のための一般のミニマム・マックス理論を構築すること。
• ユークリッド空間内の単位球における新しい自由境界最小超曲面を構成すること。
• ミニマム・マックスアプローチを用いて、任意に大きなエントロピーを持つ平均曲率流れの自己収縮子を構成すること。

提案手法

• 境界付きコンパクト多様体における自由境界 $h$-超曲面の最小化子の正則性理論を構築すること。
• 一様な面積およびモース指数の上限のもとで、自由境界 $h$-超曲面のコンパクトネス理論を確立すること。
• 自由境界 $h$-超曲面のための一般のミニマム・マックス理論を構築し、一般計量のもとでミニマム・マックス極限が多重度1をもつことを証明すること。
• 面積の第二変動を制御し、ミニマム・マックス構成における安定性を保証するためのカットオフテクニックを用いること。
• 特異なガウス空間を、特異集合のチューブ型近傍による近似によって、理論に応用すること。
• 局所 $h$-ファイブレーション定理を活用し、境界付近の幾何を制御し、$h$-超曲面のファイブレーション族を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般計量のもとで、境界付きコンパクト多様体におけるミニマム・マックス自由境界最小超曲面について、多重度1の性質が成立するか？
• RQ2 境界を伴う状況のもとで、ミニマム・マックス理論によって、任意に大きなモース指数をもつ自由境界最小超曲面の存在を保証できるか？
• RQ3 境界付きコンパクト多様体におけるミニマム・マックス構成を用いて、任意に大きなエントロピーをもつ平均曲率流れの自己収縮子を生成できるか？
• RQ4 所定の平均曲率 $h$-超曲面は、ミニマム・マックス極限の正則性およびコンパクトネスにどのような役割を果たすか？
• RQ5 特異なガウス空間を、境界付きコンパクト多様体による近似によってどのようにして、大きなガウス面積をもつ最小超曲面を構成できるか？

主な発見

• 次元 $3 \leq n+1 \leq 7$ の境界付きコンパクト多様体において、一般計量のもとで $k$-番目の幅 $\omega_k(M;g)$ は、多重度1の埋め込まれ、両面的、連結な自由境界最小超曲面の互いに交わらない和集合によって実現される。
• 著者らは、自由境界 $h$-超曲面のための一般のミニマム・マックス理論を確立し、一般計量のもとでミニマム・マックス極限が多重度1であり、かつモース指数が $k$ 以下であることを証明した。
• この理論により、任意の次元 $n+1 \in [3,7]$ において、$\mathbb{R}^{n+1}$ 内の単位球における新しい自由境界最小超曲面が構成された。
• 特異なガウス空間を境界付きコンパクト多様体による近似によって、任意に大きなエントロピーをもつ自己収縮子が構成された。
• 自由境界最小超曲面の近傍における局所 $h$-ファイブレーションの存在により、第二変動の制御が可能となり、ミニマム・マックス構成を支えることになった。
• $\xi_r$ を用いたカットオフテクニックにより、面積の第二変動の収束が保証され、ミニマム・マックス設定における正則性および安定性の証明に不可欠な役割を果たした。