[論文レビュー] On AGT-W Conjecture and q-Deformed W-Algebra

Masato Taki|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 45被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、5次元 $SU(N)$ $\mathcal{N}=1$ 超ヤンミルズ理論のネクラソフ分配関数を、$q$-変形 $W_N$ algebra のガイオット・ホイッタッカー関数の内積に一致させることで、AGT-W対応の5次元一般化を提案する。この構成は、アワタとヤマダの $SU(2)$ 結果を高ランクゲージ群へ拡張したものであり、$N=3$ について1および2インスタントンレベル、$N=4$ について1インスタントンレベルで明示的な検証が行われ、カック・シャパボロフ行列式の計算を通じて対応の妥当性が確認されている。

ABSTRACT

We propose an extension of the Alday-Gaiotto-Tachikawa-Wyllard conjecture to 5d SU(N) gauge theories. A Nekrasov partition function then coincides with the scalar product of the corresponding Gaiotto-Whittaker vectors of the q-deformed W_N algebra.

研究の動機と目的

• 4次元 $\mathcal{N}=2$ 理論から5次元 $SU(N)$ $\mathcal{N}=1$ 超ヤンミルズ理論への AGT-W 対応の拡張を図ること。
• ネクラソフ分配関数と $q$-変形 $W_N$ algebra のホイッタッカー関数の内積との対応を確立すること。
• アワタとヤマダの $SU(2)$ 結果を、高ランク $SU(N)$ ゲージ群へ一般化すること。
• $N=3$ について1および2インスタントンレベル、$N=4$ について1インスタントンレベルで、対応の明示的検証を提供すること。
• $q$-変形 $W_3$ および $W_4$ algebra のカック・シャパボロフ行列式を計算し、提案された内積の整合性を検証すること。

提案手法

• $q$-変形 $W_N$ algebra の生成子を、$q$-変形ミウラ変換により導入し、$q$、$t$、$p=q/t$ を含む無限級数で定義される構造関数 $f^{\ell m}(z)$ を用いる。
• 条件 $T_n|\lambda\rangle = 0$（$n \geq 2$）および $T_1|\lambda\rangle = \lambda|\lambda\rangle$ を満たす状態として、ガイオット・ホイッタッカー関数を定義し、$SU(2)$ 場合の一般化を行う。
• 5次元 $SU(N)$ ゲージ理論のネクラソフ分配関数が、このようなホイッタッカー関数の内積 $\langle 0,\dots,0,\Lambda^N|\Lambda^N,0,\dots,0\rangle$ に等しいと提案する。
• カック・シャパボロフ行列式形式を用いて、$q$-変形 $W_3$ および $W_4$ algebra のヴェルマモジュールにおける1および2レベルの状態のノルムを計算する。
• $q$-変形 $W_3$ および $W_4$ のカック・シャパボロフ行列 $\mathcal{G}^{(1)}$ および $\mathcal{G}^{(2)}$ を明示的に代数的計算し、因数分解された行列式表現を導出する。
• 2レベルにおける因数分解されたカック行列式を、5次元 $SU(3)$ ゲージ理論の2インスタントン分配関数の分母と比較し、AGT対応により一致を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次元 $SU(N)$ $\mathcal{N}=1$ 超ヤンミルズ理論のネクラソフ分配関数は、$N > 2$ の場合、$q$-変形 $W_N$ algebra のホイッタッカー関数の内積と一致するか？
• RQ2 アワタとヤマダの $SU(2)$ 結果は、5次元 AGT 対応の文脈において、高ランク $SU(N)$ ゲージ群へ一般化可能か？
• RQ3 $q$-変形 $W_3$ および $W_4$ algebra のカック・シャパボロフ行列式は、5次元 $SU(3)$ および $SU(4)$ ゲージ理論のインスタントン分配関数とどのように関係するか？
• RQ4 2レベルにおけるカック行列式の因数分解形は、5次元 $SU(3)$ 理論の2インスタントン分配関数の分母構造と整合的か？
• RQ5 $q$-変形 $W_N$ algebra の生成子の明示的代数的構造と、高ランクにおける交換関係は何か？

主な発見

• 5次元 $SU(N)$ $\mathcal{N}=1$ 超ヤンミルズ理論のネクラソフ分配関数は、$q$-変形 $W_N$ algebra のホイッタッカー関数の内積 $\langle 0,\dots,0,\Lambda^N|\Lambda^N,0,\dots,0\rangle$ に等しいと予想される。
• $N=3$ の場合、2インスタントン分配関数の分母は、$q$-変形 $W_3$ algebra の2レベルにおける因数分解されたカック行列式と一致する。
• $q$-変形 $W_3$ algebra のカック・シャパボロフ行列 $\mathcal{G}^{(2)}$ を明示的に計算し、その行列式が $q$、$t$、$Q_i$ を含む項の積に因数分解されることを示し、5次元 $SU(3)$ 分配関数の期待される構造と一致する。
• $N=4$ の場合、1インスタントン分配関数が、$q$-変形 $W_4$ algebra の1レベルカック行列 $\mathcal{G}^{(1)}$ を用いてホイッタッカー関数の内積と一致することが確認された。
• $q$-変形 $W_4$ algebra の1レベルにおけるカック・シャパボロフ行列式は、構造定数 $f^{\alpha\beta}_1$、$d_n$、$c$ を用いて表現され、AGT対応と整合的であることが示された。
• $W_3$ および $W_4$ algebra の両方の行列式表現は因数分解形を示し、5次元インスタントン分配関数の分母構造を再現しており、提案された対応の強力な証拠を提供している。