[论文解读] On robust pricing-hedging duality in continuous time

Zhaoxu Hou, Jan Obłój|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文通过引入一组可接受路径以纳入模型信念，在连续时间金融市场中建立了稳健的定价-对冲对偶性，弥合了模型无关与模型特定方法之间的鸿沟。证明了下确界超对冲价格等于所有校准鞅测度下期望收益的上确界，将Dolinsky和Soner的鞅最优传输对偶性推广至多资产和多到期日的情形。

ABSTRACT

We pursue robust approach to pricing and hedging in mathematical finance. We consider a continuous time setting in which some underlying assets and options, with continuous paths, are available for dynamic trading and a further set of European options, possibly with varying maturities, is available for static trading. Motivated by the notion of prediction set in Mykland (2003), we include in our setup modelling beliefs by allowing to specify a set of paths to be considered, e.g. super-replication of a contingent claim is required only for paths falling in the given set. Our framework thus interpolates between model-independent and model-specific settings and allows to quantify the impact of making assumptions or gaining information. We obtain a general pricing-hedging duality result: the infimum over superhedging prices is equal to supremum over calibrated martingale measures. In presence of non-trivial beliefs, the equality is between limiting values of perturbed problems. In particular, our results include the martingale optimal transport duality of Dolinsky and Soner (2013) and extend it to multiple dimensions and multiple maturities.

研究动机与目标

• 开发一个统一框架，通过将建模信念纳入一组可接受路径，实现模型无关与模型特定定价之间的插值。
• 将鞅最优传输对偶性推广至连续时间下的多资产与多到期日情形。
• 在仅需在指定路径集上实现超复制的稳健设定下，建立定价-对冲对偶性。
• 通过分析扰动问题的极限行为，量化模型假设或信息增益的影响。
• 将经典的无套利定价与对冲对偶性推广至具有Knight不确定性与不完全信息的设定。

提出的方法

• 定义一个稳健框架，要求衍生品头寸仅在给定路径集上实现超复制，以体现建模信念。
• 使用校准鞅测度表示定价-对冲对偶性的对偶侧，确保与交易期权市场价格的一致性。
• 应用强马氏性质与布朗运动增量的独立性，推导停止时间与跳跃大小的递归分布。
• 通过涉及布朗运动增量与阈值函数 $\Theta_k$、$\Upsilon_k$ 的递归条件，构造停止时间 $\sigma_k$ 与随机变量 $Y_k$。
• 推导过程 $((\vec{\sigma}_{m_0}; \vec{Y}_{m_0}))$ 的联合分布，并证明其在参考测度 $\hat{\mathbb{Q}}$ 下与 $((\vec{\hat{\tau}}_{m_0}; \vec{\Delta\hat{\mathbb{S}}}_{m_0}))$ 的分布一致。
• 利用涉及 $\Psi_k$、$\Phi_k$、$\Theta_k$ 与 $\Upsilon_k$ 的递归方程，刻画转移概率并确保与路径约束的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何形式化地将模型信念纳入连续时间定价与对冲，以量化其影响？
• RQ2 当仅需在路径子集上实现超复制时，定价-对冲对偶性的精确形式是什么？
• RQ3 鞅最优传输对偶性能否推广至连续时间下的多资产与多到期日情形？
• RQ4 路径集的扰动如何影响超对冲与校准测度下期望收益之间的对偶关系？
• RQ5 强马氏性质与递归构造在路径约束下建立对偶性的角色是什么？

主要发现

• 所有策略下的下确界超对冲价格等于所有校准鞅测度下期望收益的上确界，即使超复制仅限于路径子集，该等式依然成立。
• 在存在非平凡建模信念（即路径集受限）的情况下，对偶性在扰动问题的极限下成立，且极限值相等。
• 该框架将Dolinsky与Soner的鞅最优传输对偶性推广至多维与多到期日情形。
• 所构造停止时间与跳跃大小的联合分布与参考过程在校准测度 $\hat{\mathbb{Q}}$ 下的分布一致，确认了对偶结构。
• 对 $\sigma_k$ 与 $Y_k$ 的递归构造确保了与路径约束及马氏性质的一致性，从而支持对偶性证明。
• 在递归定义中采用 $0/0 \equiv 0$ 确保了当概率为零时行为的良定义性，维持了退化情形下的对偶性。