[论文解读] On the first Banhatti-Sombor index

Zhen Lin, Ting Zhou+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2021

Graph theory and applications参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文引入并分析了首个Banhatti-Sombor指数，这是一种基于顶点度的新型拓扑指数，定义为 $BSO(G) = \sum_{uv\in E(G)} \sqrt{\frac{1}{d_u^2} + \frac{1}{d_v^2}}$。它建立了与其他拓扑指数的数学关系，并表征了极值树：路径 $P_n$ 在所有树中使该指数最小，而星形图 $K_{1,n-1}$ 使其最大。对于化学树，当所有非叶顶点的度为2或3时，且满足模条件时，该指数达到最大值。

ABSTRACT

Let $d_v$ be the degree of the vertex $v$ in a connected graph $G$. The first Banhatti-Sombor index of $G$ is defined as $BSO(G) =\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{\frac{1}{d^2_u}+\frac{1}{d^2_v}}$, which is a new vertex-degree-based topological index introduced by Kulli. In this paper, the mathematical relations between the first Banhatti-Sombor index and some other well-known vertex-degree-based topological indices are established. In addition, the trees extremal with respect to the first Banhatti-Sombor index on trees and chemical trees are characterized, respectively.

研究动机与目标

• 引入并研究首个Banhatti-Sombor指数，这是一种源自Sombor指数的新顶点度基拓扑指数。
• 建立首个Banhatti-Sombor指数与其他著名拓扑指数（如Randić、Zagreb和调和指数）之间的数学关系。
• 表征在所有 $n$ 阶树中使首个Banhatti-Sombor指数最小和最大的树结构。
• 确定化学树中该指数的极值，特别是在线索度约束下的极值。

提出的方法

• 首个Banhatti-Sombor指数的形式化定义为 $BSO(G) = \sum_{uv\in E(G)} \sqrt{\frac{1}{d_u^2} + \frac{1}{d_v^2}}$，基于顶点度。
• 作者使用组合恒等式和度分区，将 $BSO(T_n)$ 表示为度为 $i$ 和 $j$ 的顶点之间的边类型 $m_{i,j}$ 的函数。
• 他们应用引理2.2和引理2.3中的不等式来界定该指数并分析极值条件。
• 通过分析指数表达式中系数的符号来识别极值结构：正系数意味着当非零时使指数最大化，负系数意味着使指数最小化。
• 对于化学树，在约束 $n-2 \equiv 0 \pmod{3}$ 下推导出上界，从而得到闭式上界。
• 通过反证法和系数分析证明了极值构型，表明等式仅在特定树类型下成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 首个Banhatti-Sombor指数与其他经典顶点度基拓扑指数之间存在何种数学关系？
• RQ2 在所有 $n$ 阶树中，哪种树结构使首个Banhatti-Sombor指数最小？
• RQ3 在所有 $n$ 阶树中，哪种树结构使首个Banhatti-Sombor指数最大？
• RQ4 化学树中首个Banhatti-Sombor指数的极值是多少？在何种结构条件下达到该极值？

主要发现

• 路径图 $P_n$ 使首个Banhatti-Sombor指数最小，且 $BSO(P_n) = \frac{\sqrt{2}}{2}(n-3) + \sqrt{5}$。
• 星形图 $K_{1,n-1}$ 在所有树中使该指数最大，达到 $BSO(K_{1,n-1}) = \sqrt{1 + (n-1)^2}$。
• 对于具有 $n$ 个顶点且满足 $n-2 \equiv 0 \pmod{3}$ 的化学树，最大指数被界定为 $\frac{2\sqrt{17}(n+1) + \sqrt{2}(n-5)}{12}$，且当且仅当 $n_2 = n_3 = 0$ 时取等。
• 当所有边均连接度为1和度为2的顶点时，该指数最小，对应于路径 $P_n$，原因在于系数函数 $f(x,y)$ 对于 $x,y \geq 2$ 为正。
• 系数分析表明，$BSO(T_n)$ 随高阶顶点对数量的增加而增加，从而确认星形图为最大值的实现者。
• 该指数表达式被分解为不同度对的贡献，极值性通过分析系数函数 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 的符号得到证明。