[论文解读] On the randomised query complexity of composition

Dmitry Gavinsky, Troy Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文建立了复合关系的随机查询复杂度的紧下界，表明对于任意关系 $f$ 和承诺函数 $g$，$f \circ g^n$ 的复杂度至少为 $\Omega(\mathcal{R}(f) \cdot \sqrt{\mathcal{R}(g)})$。作者通过一种新颖的模拟论证方法，利用极化协议树构建了匹配的上界示例，证明该界在常数因子范围内是紧致的。

ABSTRACT

Let $f\subseteq\{0,1\}^n imesΞ$ be a relation and $g:\{0,1\}^m o\{0,1,*\}$ be a promise function. This work investigates the randomised query complexity of the relation $f\circ g^n\subseteq\{0,1\}^{m\cdot n} imesΞ$, which can be viewed as one of the most general cases of composition in the query model (letting $g$ be a relation seems to result in a rather unnatural definition of $f\circ g^n$). We show that for every such $f$ and $g$, $$\mathcal R(f\circ g^n) \in Ω(\mathcal R(f)\cdot\sqrt{\mathcal R(g)}),$$ where $\mathcal R$ denotes the randomised query complexity. On the other hand, we demonstrate a relation $f_0$ and a promise function $g_0$, such that $\mathcal R(f_0)\inΘ(\sqrt n)$, $\mathcal R(g_0)\inΘ(n)$ and $\mathcal R(f_0\circ g_0^n)\inΘ(n)$ $-$ that is, our composition statement is tight. To the best of our knowledge, there was no known composition theorem for the randomised query complexity of relations or promise functions (and for the special case of total functions our lower bound gives multiplicative improvement of $\sqrt{\log n}$).

研究动机与目标

• 建立复合关系的随机查询复杂度的一般下界，其中外层问题 $f$ 是一个关系，内层问题 $g$ 是一个承诺函数。
• 解决在关系或承诺函数情况下，随机查询复杂度缺乏已知组合定理的问题。
• 在总函数情形下改进先前结果，将乘法因子从 $\sqrt{\mathcal{R}(g)/\log \mathcal{R}(g)}$ 提升为 $\sqrt{\mathcal{R}(g)}$。
• 通过一个具体示例证明该下界的紧致性，其中 $\mathcal{R}(f_0) = \Theta(\sqrt{n})$，$\mathcal{R}(g_0) = \Theta(n)$，且 $\mathcal{R}(f_0 \circ g_0^n) = \Theta(n)$。

提出的方法

• 作者采用基于模拟的证明技术，从给定的 $f \circ g^n$ 协议构造一个新的 $f$ 协议。
• 引入“极化协议树”来表示查询协议，并分析 $g$ 输入的条件分布。
• 该构造为新协议树中的节点分配动作，以模仿原始协议在 $g$ 输出分布方面的行为。
• 对于原始协议树中的每个内部节点，在新树中创建一个对应节点，并选择动作以保持在给定路径下 $g(x_i) = 1$ 的概率。
• 该方法确保：若原始协议以高概率正确计算 $f \circ g^n$，则模拟协议以相同的成功概率正确计算 $f$。
• 对于概率相等的退化情况，使用 $Z$-混合器处理；否则使用 $Z$-节点以保持与期望条件概率的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $f$ 是关系且 $g$ 是承诺函数时，$f \circ g^n$ 的随机查询复杂度的最优下界是什么？
• RQ2 随机查询复杂度的组合定理能否从总函数推广到包含关系和承诺函数的情形？
• RQ3 下界 $\Omega(\mathcal{R}(f) \cdot \sqrt{\mathcal{R}(g)})$ 对于复合问题是否紧致？
• RQ4 该下界是否改进了先前对总函数结果中包含 $\log$ 因子惩罚的情况？
• RQ5 能否构造一个具体示例，使得该下界渐近紧致？

主要发现

• 本文建立了通用下界：对于任意关系 $f$ 和承诺函数 $g$，有 $\mathcal{R}(f \circ g^n) \in \Omega(\mathcal{R}(f) \cdot \sqrt{\mathcal{R}(g)})$，这是该设定下的首个此类组合定理。
• 作者构造了一个匹配示例，其中 $\mathcal{R}(f_0) = \Theta(\sqrt{n})$，$\mathcal{R}(g_0) = \Theta(n)$，且 $\mathcal{R}(f_0 \circ g_0^n) = \Theta(n)$，证明该下界在常数因子范围内是紧致的。
• 与先前对总函数的工作相比，该下界通过从分母中移除 $\log \mathcal{R}(g)$ 因子，将乘法因子改进为 $\sqrt{\mathcal{R}(g)}$。
• 该模拟方法保持了正确性和查询复杂度，表明任何用于 $f \circ g^n$ 的协议均可用于构造一个查询复杂度至多为常数倍更大的 $f$ 协议。
• 该构造依赖于极化协议树，并对 $g$ 输出的条件概率进行了仔细处理，包括通过 $Z$-混合器处理退化情况。
• 该结果表明 $\mathcal{R}(f \circ g^n) \in \Omega(\mathcal{R}(f) \cdot \sqrt{\mathcal{R}(g)})$ 是最优的，无法在渐近意义下进一步改进。