[論文レビュー] On the structure of separable $\mathcal{L}_\infty$-spaces

Spiros A. Argyros, I. Gasparis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無限次元で分離可能な $\mathcal{L}_\infty$-空間が、可算個の有限集合の和集合上で整合性を持つ拡張作用素によって構成されるバーグ・デルバエン空間に同型であることを確立する。主な貢献は、$c_0$ を含まないが、反射的で漸近的 $c_0$ 構造を持つ $\mathcal{L}_\infty$-空間を構成し、B. サリが提起した $c_0$ の非包含に関する問題を解決することにある。

ABSTRACT

Based on a construction method introduced by J. Bourgain and F. Delbaen, we give a general definition of a Bourgain-Delbaen space and prove that every infinite dimensional separable $\mathcal{L}_\infty$-space is isomorphic to such a space. Furthermore, we provide an example of a $\mathcal{L}_\infty$ and asymptotic $c_0$ space not containing $c_0$.

研究の動機と目的

• バーグ・デルバエンの構成法を一般化し、現在はバーグ・デルバエン空間と呼ばれるBanach空間の広いクラスを定義すること。
• すべての無限次元で分離可能な $\mathcal{L}_\infty$-空間がそのような空間に同型であることを証明すること。
• 漸近的 $c_0$ 構造を持つが $c_0$ のコピーを含まない $\mathcal{L}_\infty$-空間の例を構成し、B. サリが提起した問いに応えること。
• 局所的に $c_0$ に近い性質が $\mathcal{L}_\infty$ 構造および漸近的 $c_0$ 構造の両方で成り立つとしても、それが無限次元の $c_0$ の部分空間の存在を示唆するわけではないことを示すこと。

提案手法

• 可算個の有限集合の厳密に増加する列 \/(\Gamma_q)\/、その可算和 $\Gamma = \bigcup_q \Gamma_q$、および一様有界な作用素ノルムを持つ整合性を持つ拡張作用素 $i_q: \ell_\infty(\Gamma_q) \to \ell_\infty(\Gamma)$ を用いてバーグ・デルバエン空間を定義する。
• 各 $Y_n$ を拡張作用素から得られるベクトル $d_{\gamma_i}$ で張られる有限次元部分空間とし、その和の閉包として空間 $\mathfrak{X}_0$ を構成する。
• Schauder基底 $(d_{\gamma_i})_i$ と FDD $(M_q)$ を用いてブロック列を分析し、漸近的 $c_0$ 構造を確立する。
• 関数型 $e_\gamma^*$ と制限された射影 $P_E$ を用いた推定を行い、パラメータ $n_r$ および $N, \theta$ の成長条件に依存してブロック和のノルムを評価する。
• 命題 2.17 と基底のブロック性質を用いて、縮小基底および双対空間が $\ell_1$ に同型であることを証明する。
• パラメータ $n_r$ の成長と $\|\sum u_i\| \leq K_{N,\theta}$ の有界性を用いて、スキップされたブロック列が $c_0$ 基底と同値にはなり得ないことを示し、$c_0$ の部分空間が存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての分離可能な無限次元 $\mathcal{L}_\infty$-空間は、整合性を持つ拡張作用素によって構成されるバーグ・デルバエン空間に同型であるか？
• RQ2 漸近的 $c_0$ 構造を持つが $c_0$ のコピーを含まない $\mathcal{L}_\infty$-空間を構成できるか？
• RQ3 $\mathcal{L}_\infty$ 構造と漸近的 $c_0$ 構造の組み合わせが、$c_0$ の部分空間の存在を示唆するのか？
• RQ4 構成された $\mathcal{L}_\infty$-空間 $\mathfrak{X}_0$ のSzlenk指数は何か？ また、その指数が $\ell_1$ スピーディングモデルの存在を示唆するか？

主な発見

• すべての無限次元で分離可能な $\mathcal{L}_\infty$-空間は、可算個の有限集合の和集合上で整合性を持つ拡張作用素によって定義されるバーグ・デルバエン空間に同型である。
• 構成された空間 $\mathfrak{X}_0$ は、反射的で漸近的 $c_0$ 構造を持つ $\mathcal{L}_\infty$-空間であり、縮小基底 $(d_{\gamma_i})_i$ を持つ。
• $\mathfrak{X}_0$ の双対空間は $\ell_1$ に同型であり、したがって $\ell_1$ の同型的双対となる。
• スキップされたブロック列における関数型の評価の均一な減衰性により、$\mathfrak{X}_0$ は $c_0$ に同型な部分空間を含まないことが示された。
• 支持条件およびノルム条件の下で、任意のブロック和 $\|\sum_{i=1}^m u_i\|$ のノルムは $K_{N,\theta} = (2N^3 + 4\theta N^2 - 4\theta N)/(N^2 - 3\theta N + 2\theta^2)$ で一様に有界であり、$m$ に依存しない。
• $\mathfrak{X}_0$ のSzlenk指数は $\omega$ であり、$\ell_1$ スピーディングモデルの非存在を確認することで、$c_0$ の部分空間が存在しないことが裏付けられた。