[論文レビュー] Pencils of quadrics and the arithmetic of hyperelliptic curves

Manjul Bhargava, Benedict H. Gross+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、g ≥ 1 であるℚ上の双曲的曲線のうち、正の割合が局所的に可解であるが、ℚの任意の奇数次拡大体上で有理点を持たないことを示しており、曲線の genus が増加するにつれてその割合は1に近づく。特性≠2の体上の二次曲面の線型族と数の幾何学の道具を用いて、著者らは、Hasseの原理の失敗がBrauer–Manin障害によって説明されることを示している。

ABSTRACT

A hyperelliptic curve over $\mathbb Q$ is called if it has a point over every completion of $\mathbb Q$. In this paper, we prove that a positive proportion of hyperelliptic curves over $\mathbb Q$ of genus $g\geq 1$ are locally soluble but have no points over any odd degree extension of $\mathbb Q$. We also obtain a number of related results. For example, we prove that for any fixed odd integer $k > 0$, the proportion of locally soluble hyperelliptic curves over $\mathbb Q$ of genus $g$ having no points over any odd degree extension of $\mathbb Q$ of degree at most $k$ tends to 1 as $g$ tends to infinity. We also show that the failures of the Hasse principle in these cases are explained by the Brauer-Manin obstruction. Our methods involve a detailed study of the geometry of pencils of quadrics over a general field of characteristic not equal to 2, together with suitable arguments from the geometry of numbers.

研究の動機と目的

• ℚ上の双曲的曲線のうち、局所的に可解であるが、任意の奇数次拡大体上で有理点を持たないものの広がりを調査すること。
• genus g が無限大に近づく際の、このような曲線の漸近的密度を特定すること。
• これらの状況におけるHasseの原理の失敗が、Brauer–Manin障害によって支配されることを確立すること。
• 特性≠2の一般の体上の二次曲面の線型族を用いた幾何的枠組みを構築すること。

提案手法

• 特性2でない体上の二次曲面の線型族を分析し、その有理点の挙動を理解すること。
• 数の幾何学の技術を用いて、曲線族における整数解および有理点の解法を研究すること。
• 二次曲面の線型族の構造を用いて、局所的可解性とグローバル障害をモデル化すること。
• Brauer–Manin障害と奇数次拡大体上での有理点の不在との間の関係を確立すること。
• 確率論的および漸近的手法を用いて、genus が増加する際のこのような曲線の密度を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℚ上の局所的に可解な双曲的曲線のうち、任意の奇数次拡大体上で有理点を持たないものの割合はどれくらいか？
• RQ2 この割合は、曲線の genus g が無限大に近づくにつれてどのように変化するか？
• RQ3 これらの状況におけるHasseの原理の失敗は、Brauer–Manin障害によって説明されるか？
• RQ4 奇数次拡大体における有理点への障害を裏付ける幾何的構造は何か？

主な発見

• ℚ上の genus g ≥ 1 の双曲的曲線のうち、正の割合が局所的に可解であるが、ℚの任意の奇数次拡大体上で有理点を持たない。
• 任意の固定された奇数 k > 0 に対して、次数 ≤ k である任意の奇数次拡大体上で有理点を持たない局所的に可解な双曲的曲線の割合は、g → ∞ のとき1に近づく。
• これらの状況におけるHasseの原理の失敗は、Brauer–Manin障害によって引き起こされている。
• 特性≠2の体上の二次曲面の線型族の研究は、この文脈における有理点の分析に重要な幾何的枠組みを提供する。