[论文解读] Quantum Lower and Upper Bounds for 2D-Grid and Dyck Language

Andris Ambainis, Kaspars Balodis+7 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文建立了两个问题的量子查询复杂度界限：Dyckk,n（检查深度不超过k的平衡括号）和二维网格连通性。它证明了Dyckk,n的指数下界为Ω(ck√n)，表明复杂度随k呈指数增长，并提出了一个O(√n(log n)^0.5k)的量子算法。对于二维网格连通性，通过将Dyck问题嵌入网格结构中，证明了有向和无向网格的下界分别为Ω(n^{1.5−ϵ})和Ω(n^{2−ϵ})。

ABSTRACT

We study the quantum query complexity of two problems. First, we consider the problem of determining if a sequence of parentheses is a properly balanced one (a Dyck word), with a depth of at most $k$. We call this the $Dyck_{k,n}$ problem. We prove a lower bound of $Ω(c^k \sqrt{n})$, showing that the complexity of this problem increases exponentially in $k$. Here $n$ is the length of the word. When $k$ is a constant, this is interesting as a representative example of star-free languages for which a surprising $ ilde{O}(\sqrt{n})$ query quantum algorithm was recently constructed by Aaronson et al. Their proof does not give rise to a general algorithm. When $k$ is not a constant, $Dyck_{k,n}$ is not context-free. We give an algorithm with $O\left(\sqrt{n}(\log{n})^{0.5k} ight)$ quantum queries for $Dyck_{k,n}$ for all $k$. This is better than the trival upper bound $n$ for $k=o\left(\frac{\log(n)}{\log\log n} ight)$. Second, we consider connectivity problems on grid graphs in 2 dimensions, if some of the edges of the grid may be missing. By embedding the "balanced parentheses" problem into the grid, we show a lower bound of $Ω(n^{1.5-ε})$ for the directed 2D grid and $Ω(n^{2-ε})$ for the undirected 2D grid. The directed problem is interesting as a black-box model for a class of classical dynamic programming strategies including the one that is usually used for the well-known edit distance problem. We also show a generalization of this result to more than 2 dimensions.

研究动机与目标

• 确定Dyckk,n的量子查询复杂度，即检查一个括号字符串是否在深度最多为k的情况下保持平衡。
• 为Dyckk,n建立紧致的下界和上界，特别是当k随n增长时，以理解非上下文无关的星-自由语言中量子加速的极限。
• 分析具有缺失边的二维和d维网格图连通性的量子查询复杂度，动机来自动态规划和编辑距离。
• 证明Dyckk,n和网格连通性的量子算法可用于推导经典动态规划策略的下界。
• 将结果推广到更高维网格，并通过连通性问题探索量子加速在动态规划中的应用。

提出的方法

• 通过多项式方法与敌对方法的混合，证明了Dyckk,n的量子查询下界为Ω(ck√n)，表明其对k具有指数依赖性。
• 利用幅度放大和括号结构的递归分解，构造了一个Dyckk,n的量子算法，其查询次数为O(√n(log n)^0.5k)。
• 通过将嵌套括号映射为网格中的路径，将Dyckk,n实例嵌入二维网格图中，利用几何布局保持深度约束。
• 利用网格嵌入，将Dyckk,n的下界转移至二维网格连通性问题，证明了有向网格的下界为Ω(n^{1.5−ϵ})，无向网格的下界为Ω(n^{2−ϵ})。
• 通过迭代折叠维度并使用子网格嵌入，将下界推广至d维网格，证明了无向网格的下界为Ω((n₁⋯n_d)^{1−ϵ})，有向网格的下界为Ω((n_{d-1} ∏n_i)^{1/2−ϵ})。
• 在分析中应用了跨度程序方法和量子行走技术，但有向情况由于连通性非对称，需采用替代方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 当k随n增长时，Dyckk,n的量子查询复杂度是多少？其是否表现出对k的指数依赖？
• RQ2 当k不是常数时，Dyckk,n的量子算法能否实现亚线性查询复杂度？与经典的n查询界相比如何？
• RQ3 当边可能缺失时，有向和无向二维网格连通性的量子查询复杂度是多少？
• RQ4 能否将Dyck语言问题嵌入网格图中，以推导出网格连通性的下界？
• RQ5 d维网格连通性的量子查询复杂度界限是什么？其随维度和网格大小如何变化？

主要发现

• 对于某个c > 1且所有k ≤ log n，Dyckk,n的量子查询复杂度为Ω(ck√n)，证明了其对k具有指数依赖性。
• 当k = c log n（c为适当常数）时，复杂度变为Ω(n^{1−ϵ})，表明即使深度为对数级的Dyck词，其难度也接近无界深度的情况。
• 一个显式的Dyckk,n量子算法实现了O(√n(log n)^0.5k)次查询，当k = o(log n / log log n)时，优于经典的n次查询界。
• 对于有向二维网格连通性，量子查询复杂度为Ω(n^{1.5−ϵ})；对于无向网格，为Ω(n^{2−ϵ})，两者在ϵ范围内均为紧致下界。
• 二维网格的下界通过将Dyckk,n实例嵌入网格中获得，表明解决网格连通性问题至少与解决Dyckk,n一样困难。
• 对于d维网格，无向连通性的下界为Ω((n₁⋯n_d)^{1−ϵ})（在适度条件下成立），有向网格的下界为Ω((n_{d-1} ∏n_i)^{1/2−ϵ})，推广了二维结果。