[論文レビュー] Real Monge-Ampere equations and Kahler-Ricci solitons on toric log Fano varieties

Robert J. Berman, Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 51被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、R^n 上の実 Monge-Ampère 方程式が指数関数的非線形性をもち、標的が凸体 P であるとき、かつそのときに限り、原点が与えられた測度のもとで P の重心であるという条件下で解が存在することを確立する。変分的アプローチを用いて、トーリックな log Fano 多様体上に Kähler-Ricci 溶媒が存在することを証明し、K-安定性の観点から一般化された Yau-Tian-Donaldson 予想を確認するとともに、Zhou-Wang の結果を特異的および log Fano の場合にまで拡張する。

ABSTRACT

We show, using a direct variational approach, that the second boundary value problem for the Monge-Ampère equation in R^n with exponential non-linearity and target a convex body P is solvable iff 0 is the barycenter of P. Combined with some toric geometry this confirms, in particular, the (generalized) Yau-Tian-Donaldson conjecture for toric log Fano varieties (X,D), saying that (X,D) admits a (singular) Kähler-Einstein metric iff it is K-stable in the algebro-geometric sense. We thus obtain a new proof and extend to the log Fano setting the seminal result of Zhou-Wang concerning the case when X is smooth and D is trivial. Li's toric formula for the greatest lower bound on the Ricci curvature is also generalized. More generally, we obtain Kähler-Ricci solitons on any log Fano variety and show that they appear as the large time limit of the Kähler-Ricci flow. Furthermore, using duality, we also confirm a conjecture of Donaldson concerning solutions to Abreu's boundary value problem on the convex body P. in the case of a given canonical measure on the boundary of P.

研究の動機と目的

• R^n 上の指数関数的非線形性をもつ実 Monge-Ampère 方程式の第二境界値問題の可解性を確立すること。
• 可解性条件が、与えられた測度のもとでの標的凸体 P の重心にどのように関係するかを特定すること。
• 変分的手法を用いて、トーリックな log Fano 多様体上に Kähler-Ricci 溶媒が存在することを証明すること。
• K-安定性の観点から、トーリックな log Fano 多様体における一般化された Yau-Tian-Donaldson 予想を確認すること。
• Li のトーリックな公式によるリッチ曲率の下界の最大値を、log Fano の設定にまで拡張すること。

提案手法

• 関数 φ に関連する e^{-φ} の L1 ノルムの対数と双対エネルギー項を含む関数の最大化として解を構成する直接的変分的アプローチを用いる。
• Moser-Trudinger 型の強制的推移性推移を用いて、最小化列が解に収束することを保証する。
• 凸関数 φ とその Legendre 変換 φ* の双対性を用いて、Monge-Ampère 方程式と凸体 P の幾何学的性質を関連付ける。
• Kähler-Ricci 流を用いて、流れの長時間極限がトーリックな log Fano 多様体上に Kähler-Ricci 溶媒を与えることを示す。
• 解の自己同型群による一意性を用いて、流れの初期ポテンシャルの滑らかさを導出する。
• 摂動論的議論と上半連続関数における上界の連続性を用いて、エネルギー関数の微分可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^n 上の実 Monge-Ampère 方程式の第二境界値問題が指数関数的非線形性をもつとき、どのような条件下で可解となるか？
• RQ2 標的凸体 P の重心条件が、Monge-Ampère 方程式の可解性にどのように関係するか？
• RQ3 変分的手法を用いて、一般化された Yau-Tian-Donaldson 予想がトーリックな log Fano 多様体に対して確認可能か？
• RQ4 K-安定性は、特異的および log Fano 多様体上の Kähler-Ricci 溶媒の存在性において、どのような役割を果たすか？
• RQ5 Kähler-Ricci 流は、どのようにしてトーリックな log Fano 多様体上で Kähler-Ricci 溶媒に収束するか？

主な発見

• 指数関数的非線形性をもつ Monge-Ampère 方程式は、R^n 上で、かつそのときに限り、測度 g(p)dp のもとで、原点が凸体 P の重心であるとき可解である。
• 解 φ は平行移動を除いて一意であり、任意の x に対して φ(x) − sup_{p∈P}⟨x,p⟩ が R^n 全体で有界である。
• 任意の Hölder 指数 α ∈ [0,1) に対して、Legendre 変換 φ* は P の境界に沿って Hölder 継続的である。
• 任意のトーリックな log Fano 多様体上に Kähler-Ricci 溶媒が存在し、それは Kähler-Ricci 流の長時間極限として得られる。
• Kähler-Ricci 流は、トーリック多様体の正則部分多様体上で滑らかな Kähler-Ricci 溶媒に収束し、初期ポテンシャルはその領域で滑らかである。
• 一般化された Yau-Tian-Donaldson 予想は、トーリックな log Fano 多様体に対して成立する：Kähler-Ricci 溶媒の存在は K-安定性と同値である。