[论文解读] Reduction of CM elliptic curves and modular function congruences

Noam D. Elkies, Ken Ono+1 more|ArXiv.org|Dec 15, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 11

一句话总结

本文研究了在模素数 p 下，将 U(p) 算子作用于在 j-不变量处取值的希尔伯特类多项式时，其同余关系的性质。利用半整数权模形式的深刻结果以及 Deuring 的约化映射，本文证明了在类数与 p 在虚二次域中分裂行为满足特定条件时，此类同余关系成立，关键结果表明：当类数较小时，同余行为具有一致性，且 p-进赋值受控。

ABSTRACT

We study congruences of the form F(j(z)) | U(p) = G(j(z)) mod p, where U(p) is the p-th Hecke operator, j is the basic modular invariant 1/q+744+196884q+... for SL2(Z), and F,G are polynomials with integer coefficients. Using the interplay between singular (a.k.a. CM) j-invariants in characteristic zero and supersingular ones in characteristic p, we obtain such congruences in which F is the minimal polynomial of a CM j-invariant, and give a sufficient condition for G to be a constant polynomial in these congruences.

研究动机与目标

• 确定当希尔伯特类多项式 F(j(z)) 满足 F(j(z))|U(p) ≡ G_p(j(z)) mod p 时，其中 G_p(x) ∈ ℤ[x]，该同余关系成立的条件。
• 研究此类同余关系在 h(−D) < p 时产生常数约化的条件，特别是当 h(−D) < p 时。
• 分析超奇异 j-不变量及其重数在决定这些同余关系有效性中的作用。
• 基于 𝔽_p[x] 中 F(x) 被 S̃_p(x)^2 整除的性质，建立此类同余关系的一般判别准则。
• 探讨在 p/6 < h(−D) < p 时，满足同余关系 H_D(j(z))|U(p) ≡ c_D(0) mod p 的判别式所占比例。

提出的方法

• 提出一个一般性判别准则（定理 2.3），将形如 F(j(z))|U(p) ≡ G_p(j(z)) mod p 的同余关系与 𝔽_p[x] 中 F(x) 被 S̃_p(x)^2 整除的性质联系起来。
• 将该准则应用于希尔伯特类多项式 H_D(x)，利用 Deuring 定理：当 p 在 ℚ(√−D) 中不分裂时，奇异模将约化为超奇异 j-不变量。
• 利用 Gross 的权为 3/2 的 theta 函数及其傅里叶系数，重新解释奇异模到超奇异 j-不变量的约化映射的满射性。
• 应用 Duke 与 Iwaniec 对半整数权尖点形式系数的有界性结果，证明约化到给定超奇异 j-不变量的奇异模数量随 D 增大而增长。
• 应用 Siegel 公式计算 theta 函数中 Eisenstein 系数分量，并与尖点形式误差项结合，推导出超奇异 j-不变量重数的下界。
• 证明：对每个素数 p 和 t ≥ 1，存在一个整数 N_p(t)，使得对所有满足 (−D/p) ≠ 1 的基本判别式 −D < N_p(t)，H_D(x) mod p 中每个超奇异 j-不变量的重数至少为 t。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些素数 p 和基本判别式 −D，有 H_D(j(z))|U(p) ≡ c_D(0) mod p 成立？
• RQ2 在集合 Ω_p = {−D 为基本判别式 | p/6 < h(−D) < p 且 (−D/p) ≠ 1} 中，有多少比例的判别式满足 H_D(j(z))|U(p) ≡ c_D(0) mod p？
• RQ3 在 h(−D) < p 时，U(p) 算子作用于 H_D(j(z)) 后模 p 为常数的条件是什么，特别是当 h(−D) < p 时？
• RQ4 H_D(x) mod p 中超奇异 j-不变量的重数如何与类数 h(−D) 及 p 在 ℚ(√−D) 中的分裂行为相关？
• RQ5 当 h(−D) ≥ p 时，是否能保证 H_D(j(z))|U(p) ≡ G_p(j(z)) mod p 对非平凡 G_p(x) 成立？

主要发现

• 对任意负基本判别式 −D 和满足 h(−D) < p 的素数 p ≤ 11，同余关系 H_D(j(z))|U(p) ≡ c_D(0) mod p 成立。
• 对每个素数 p，存在一个非正整数 N_p，使得当 −D < N_p 且 (−D/p) ≠ 1 时，有 H_D(j(z))|U(p) ≡ G_p(j(z)) mod p，其中 G_p(x) ∈ ℤ[x] 的次数不超过 h(−D)/p。
• 当对所有 n > 0 有 c_D(−pn) ≡ 0 mod p 时，同余关系 H_D(j(z))|U(p) ≡ c_D(0) mod p 成立，而当 h(−D) < p 时，该条件必然满足。
• 在 (−D/p) ≠ 1 的条件下，对所有足够小的 −D（即 −D < N_p(t)），H_D(x) mod p 中每个超奇异 j-不变量的重数均有下界 t。
• 超奇异 j-不变量重数的下界来源于 theta 函数中 Eisenstein 系数分量的渐近增长，其主导于尖点形式误差项。
• 数值证据表明，对满足 p/6 < h(−D) < p 且 (−D/p) ≠ 1 的许多判别式，S̃_p(x)^2 整除 H_D(x) mod p，但存在反例（如 D = 239, p = 79），此时尽管 p 惰性，重数仅为 1。