[論文レビュー] Regular holomorphic webs of codimension one

Vincent Cavalier, Daniel Lehmann|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、n次元複素多様体上の余次元1の正則なd-ウェブのための新しい正則性概念を導入し、ウェブ構造が退化する臨界な解析的部分集合Sを定義する。この正則ウェブのランクに対する上界π′(n,d)を確立し、これはカステルヌーヴォーの上限π(n,d)より厳密に小さい。さらに、M₀\S上のバンドルに正則接続を構成し、その曲率が最大ランクを妨げる。この上限はアフィン正則ウェブにおいて最適である。

ABSTRACT

Version du 16/03/2007 Given a d-web of codimension one on a holomorphic n-dimensional manifold M0 (d> n), we assume that, at any point of M0, the d hyperplanes tangent to the local foliations at a point of M0 are distinct, and that there exists n of them in general position (but we do not require any n of them to be in general position). For such a web, we shall define some specific analytical subset S of M0 which-generically- has dimension ≤ n − 1 or is empty: in this case the web will be said “regular”; when-exceptionally- the set S is n-dimensional, the web will be said “special”. We prove that the rank of regular d-webs has an upper-bound π ′ (n, d) which, for n ≥ 3, is strictly smaller than the bound π(n, d) of Castelnuovo (the maximal arithmetical genus of an algebraic curve of degree d in the complex n-dimensional projective space Pn). Let c(n, h) denote the dimension of the vector space of homogeneous polynomials of degree h in n variables. The number π ′ (n, d) is then equal- to 0 for d < c(n,2),- and to P ` ´+ + h≥1 d−c(n, h) for d ≥ c(n, 2), (a) denoting the number sup (a,0) for any a ∈Z. For any regular d-web with d = c(n, h) for some h ≥ 2, we define a holomorphic connection on some holomorphic bundle E of rank π ′ (n, d) over M0 \\S, such that the set of abelian relations inject into the set of sections of E the covariant derivative of which vanishes: the curvature of this connection, which generalizes the Blaschke curvature, is then an obstruction for the rank of the web to have the maximal possible value π ′ (n, d). When n = 2, any web is regular and we recover the results of [He1]. Other examples are given. In particular, any affine regular d-web in dimension n has maximal rank π ′ (n, d), hence the optimality of this bound. 1 Regular holomorphic webs of codimension one

研究の動機と目的

• ホロモルフィックn-多様体上の余次元1の正則d-ウェブを定義・特徴づけ、各点におけるd個の接超平面が一般位置にない点のなす解析的部分集合Sによって、特別なウェブと区別する。
• 正則d-ウェブのランクに対する新たな上界π′(n,d)を確立し、これはカステルヌーヴォーの上限π(n,d)より厳密に小さい。
• d = c(n,h) かつ h ≥ 2 である正則d-ウェブに対して、M₀\S上のバンドルに正則接続を構成し、その共変微分が消えることとアーベル関係が同値となるようにする。
• 正則d-ウェブにおける最大ランクの障害として、ブラシュケ曲率の一般化を提示する。

提案手法

• ウェブが正則であるとは、d個の接超平面が一般位置にない点のなす解析的部分集合Sが次元≤ n−1 または空集合であるときを定義する。
• c(n,h) をn変数の同次多項式空間の次元と定義し、h ≥ 1 についての和を用いてπ′(n,d)を定義する：∑_{h≥1} max(d − c(n,h), 0)。
• d = c(n,h) かつ h ≥ 2 のとき、M₀\S 上にランクπ′(n,d)の正則ベクトルバンドルEを構成する。
• Eに正則接続を定義し、アーベル関係が共変微分が消えるセクションと一致するようにする。
• この接続の曲率が、最大ランクπ′(n,d)に達するのを妨げる障害として作用することを示す。
• アフィン正則d-ウェブがこの最大ランクを達成することを検証し、π′(n,d)の鋭さを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素n-多様体上の余次元1のd-ウェブが正則であるための条件は何か？ また、各点における接超平面の構造とどのように関係するか？
• RQ2 新しい上限π′(n,d)はカステルヌーヴォーの上限π(n,d)とどのように比較できるか？ なぜn ≥ 3のとき厳密に小さいのか？
• RQ3 非特異部分M₀\S上のバンドルに正則接続を構成できるか？ そのとき、アーベル関係が共変微分が消えるセクションとして特徴づけられるか？
• RQ4 この接続の曲率は、古典的状況におけるブラシュケ曲率をどのように一般化し、最大ランクを妨げるのか？
• RQ5 上限π′(n,d)は最適か？ また、アフィン正則d-ウェブはこの上限に達するか？

主な発見

• 任意の正則d-ウェブのランクはπ′(n,d)で上から抑えられ、n ≥ 3のときカステルヌーヴォーの上限π(n,d)より厳密に小さい。
• d < c(n,2) のとき、π′(n,d)は0であり、非自明なアーベル関係は存在しないことを示唆する。
• d ≥ c(n,2) のとき、π′(n,d)はh ≥ 1についての和∑_{h≥1} max(d − c(n,h), 0)で与えられ、最大可能ランクの明示的公式が得られる。
• d = c(n,h) かつ h ≥ 2 のとき、M₀\S 上のランクπ′(n,d)のバンドルに正則接続を構成でき、アーベル関係は共変微分が0のセクションと一致する。
• この接続の曲率は、ランクがπ′(n,d)に達するのを妨げる障害として作用し、古典的状況におけるブラシュケ曲率を一般化する。
• アフィン正則d-ウェブは最大ランクπ′(n,d)に達するため、上限π′(n,d)の鋭さと最適性が証明される。