[論文レビュー] Relative Pro-$\ell$ Completions of Mapping Class Groups

Richard Hain, Makoto Matsumoto|ArXiv.org|Feb 6, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、古典的なpro-ℓ完成の一般化として、写像類群の相対的pro-ℓ完成を導入し、g ≥ 3 の場合に、トーリー群のpro-ℓ完成が写像類群の相対的pro-ℓ完成に単射でないことを示している。また、g ≥ 2 の場合に、トーリー群のpro-ℓ完成が、 genus g の曲面のpro-ℓ基本群に与える作用が忠実でないことも示している。さらに、適切に変形された場合、Galois表現がℓ以外の素数で非分岐であることも証明している。

ABSTRACT

Fix a prime number ell. In this paper we develop the theory of relative pro-ell completion of discrete and profinite groups -- a natural generalization of the classical notion of pro-ell completion -- and show that the pro-ell completion of the Torelli group does not inject into the relative pro-ell completion of the corresponding mapping class group when the genus is at least 3. As an application, we prove that when g > 2, the action of the pro-ell completion of the Torelli group T_{g,1} on the pro-ell fundamental group of a pointed genus g surface is not faithful. The choice of a first-order deformation of a maximally degenerate stable curve of genus g determines an action of the absolute Galois group G_Q on the relative pro-ell completion of the corresponding mapping class group. We prove that for all g all such representations are unramified at all primes eq ell when the first order deformation is suitably chosen. This proof was communicated to us by Mochizuki and Tamagawa.

研究の動機と目的

• 離散群およびprofinite群の相対的pro-ℓ完成の理論を、古典的なpro-ℓ完成の一般化として発展させること。
• トーリー群のpro-ℓ完成が写像類群の相対的pro-ℓ完成に単射であるかどうかを調査すること。
• g ≥ 2 の場合に、トーリー群のpro-ℓ完成が、genus g の曲面のpro-ℓ基本群に与える作用が忠実でないことを確立すること。
• 適切な1次変形のもとで、写像類群の相対的pro-ℓ完成上のGalois表現が、ℓ以外の素数で非分岐であることを証明すること。
• ユニポテンツ完成および合同部分群の性質に関する結果を、相対的pro-ℓ設定に拡張すること。

提案手法

• 群Γと、連続な稠密な準同型ρ: Γ → P（Pはprofinite群）に対して、相対的pro-ℓ完成Γ^(ℓ),ρを、ρφ: Gφ → P かつ ker(ρφ) がpro-ℓ群であるような連続な稠密な準同型φ: Γ → Gφ に関する逆極限として定義する。
• 自然な準同型ρ: Γg,n,𝐫 → Sp_g(ℤℓ) を用いて、写像類群の相対的pro-ℓ完成Γg,n,𝐫^(ℓ)を定義する。
• レベルm部分群に対して、写像Tg,n,𝐫^(ℓ) → Γg,n,𝐫[m]^(ℓ) の核を解析し、g ≥ 3 のとき中心的であり、ℤℓのコピーを含むことを示す。
• スペクトル系列およびコホモロジー的技法を用いて、g ≥ 1 のときH¹(Γg,n+r, ℤ)が消えることを示し、Galoisのインertリア群からの誘導された準同型が自明であることを示す。
• 形式的円板上のℙ¹バンドルを用いた接続的基点を用いて、ℤ上の極度に退化した安定曲線の変形を構成し、Galois作用を相対完成に定義する。
• 正確な列0 → ℤℓ(1)^r → Γg,n,𝐫^(ℓ) → Γg,n+r^(ℓ) → 1 を用いて、r > 0 の場合をr = 0 の場合に還元し、コホモロジー上の誘導された準同型の自明性により、Galois作用の非分岐性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 g ≥ 3 の場合に、トーリー群のpro-ℓ完成が、写像類群の相対的pro-ℓ完成に単射であるか？
• RQ2 g ≥ 2 の場合に、トーリー群のpro-ℓ完成が、genus g の曲面のpro-ℓ基本群に与える作用は忠実か？
• RQ3 適切に選ばれた1次変形のもとで、写像類群の相対的pro-ℓ完成上のGalois表現は、ℓ以外の素数で非分岐か？
• RQ4 非自明なシンプレクティック像をもつ写像類群の文脈において、相対的pro-ℓ完成は古典的なpro-ℓ完成をどのように一般化するか？
• RQ5 レベルm部分群に対して、Tg,n,𝐫^(ℓ) → Γg,n,𝐫[m]^(ℓ) の写像の核の構造は何か？

主な発見

• g ≥ 3 および任意の素数ℓに対して、写像Tg,n,𝐫^(ℓ) → Γg,n,𝐫[m]^(ℓ) の核は、Tg,n,𝐫^(ℓ) において中心的であり、ℤℓのコピーを含む。
• Tg,n,𝐫 がℓ正則であるならば、正確な列0 → ℤℓ → Tg,n,𝐫^(ℓ) → Γg,n,𝐫[m]^(ℓ) → Sp_g(ℤℓ)[m] → 1 が存在する。
• g ≥ 2 のとき、点付きgenus g の曲面のpro-ℓ基本群に、トーリー群のpro-ℓ完成Tg,1^(ℓ) が与える作用は忠実でない。
• すべてのg ≥ 1 およびr > 0 に対して、Gℚ のインertリア群Ipは、素数p ≠ ℓ に対してΓg,n,𝐫^(ℓ) に自明に作用する。これは、Galois表現の非分岐性を示している。
• 写像類群の相対的pro-ℓ完成は非自明であり、群構造を反映している。一方、古典的なpro-ℓ完成は、g ≥ 3 のとき完全群Γg に対して消える。
• ℤ上での形式的円板上のℙ¹バンドルによる接続的基点の構成により、Galois作用がℓ以外の場所で非分岐であることが保証される。