[论文解读] Remarks on weak amenability of hypergroups

Mahmood Alaghmandan|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文证明了所有交换的Pλ-超群，包括Jacobi超群，均为弱算均的，且Cowling-Haagerup常数为1，从而解决了Eymard提出的一个开放问题。此外，通过底层群的算均性，刻画了超球超群中有界逼近恒等元的存在性，证明了群G的算均性与A(H)中此类逼近恒等元的存在性等价。

ABSTRACT

We study the existence of multiplier (completely) bounded approximate identities for the Fourier algebras of some classes of hypergroups. In particular we show that, a large class of commutative hypergroups are weakly amenable with the Cowling-Haagerup constant 1. As a corollary, we answer an open question of Eymard on Jacobi hypergroups. We also characterize the existence of bounded approximate identities for the hypergroup Fourier algebras of ultraspherical hypergroups.

研究动机与目标

• 为Eymard关于Jacobi超群Cowling-Haagerup常数的开放问题提供解答。
• 为包括Pλ-超群在内的广泛类交换超群建立常数1的弱算均性。
• 刻画超球超群的傅里叶代数A(H)中存在有界逼近恒等元的条件。
• 通过将A(H)中存在有界逼近恒等元与底层群G的算均性联系起来，将Leptin型定理推广至超群设定。

提出的方法

• 利用Pλ-超群上正定函数的乘法性质来分析弱算均性。
• 应用Voit关于交换超群的结果，证明每个交换Pλ-超群均为常数1的弱算均性。
• 将超球超群H的傅里叶代数A(H)识别为底层群G上π-径向函数的空间。
• 使用正规平均映射π: C₀(G) → C₀(G)将G上的逼近恒等元提升至H。
• 应用[17, 引理4.4]在群算均性下验证超球超群的条件(P₂)。
• 利用对偶性与算子空间技巧，证明当G为算均时，MA(H) = M_{cb}A(H)。

实验结果

研究问题

• RQ1 Jacobi超群H_{α,β}的Cowling-Haagerup常数是否对所有α ≥ β ≥ -1/2均保持为1？
• RQ2 是否可将常数1的弱算均性推广至离散超群之外的广泛类交换超群？
• RQ3 底层群G需满足何种条件，才能保证超球超群H的A(H)中存在有界逼近恒等元？
• RQ4 是否存在关于超球超群的完整Leptin型定理，将G的算均性与A(H)中存在有界逼近恒等元联系起来？

主要发现

• 所有交换Pλ-超群均为常数1的弱算均性，包括所有Jacobi超群H_{α,β}。
• Eymard关于Jacobi超群Cowling-Haagerup常数的开放问题已解决：对所有α ≥ β ≥ -1/2，其值均为1。
• 对于由Gelfand对(G,K)生成的超球超群H，H为常数1的弱算均性。
• 超球超群H的A(H)中存在有界逼近恒等元，当且仅当其底层群G为算均群。
• 当G为算均时，MA(H) = M_{cb}A(H) = B_λ(H)，在算子空间设定下建立了完全对偶性。
• 定理4.4的刻画建立了超球超群的完整Leptin型定理：(i)–(iv)等价，其中(iv)为G的算均性。