[論文レビュー] S-duality and the prepotential in N=2* theories (I): the ADE algebras

M. Billó, M. Frau+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2015

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ひとこと要約

本稿では、S-duality とモジュラー異常方程式を用いて、ADEゲージ群をもつ $\chi=2^\star$ 超対称ゲージ理論の前汎関数を導出する。S-duality が前汎関数上でフーリエ変換として作用することを要請することで、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ の準モジュラー形式として表される多インスタントン補正を再帰的に計算し、AおよびD系列を超えて、微視的インスタントン計算が不可能な例外的 $E_6$、$E_7$、$E_8$ 群への結果の拡張を実現する。

ABSTRACT

The prepotential of N=2* supersymmetric theories with unitary gauge groups in an Omega-background satisfies a modular anomaly equation that can be recursively solved order by order in an expansion for small mass. By requiring that S-duality acts on the prepotential as a Fourier transform we generalise this result to N=2* theories with gauge algebras of the D and E type and show that their prepotentials can be written in terms of quasi-modular forms of SL(2,Z). The results are checked against microscopic multi-instanton calculus based on localization for the A and D series and reproduce the known 1-instanton prepotential of the pure N=2 theories for any gauge group of ADE type. Our results can also be used to obtain the multi-instanton terms in the exceptional theories for which the microscopic instanton calculus and the ADHM construction are not available.

研究の動機と目的

• AおよびD系列を超えて、ADE型の例外的ゲージ群を含む $\mathcal{N}=2^\star$ 理論の前汎関数計算を一般化すること。
• S-duality による前汎関数へのフーリエ変換作用を保証するモジュラー異常方程式を導出することにより、S-duality 不変性を符号化すること。
• 任意の単純ラクス型ゲージ群に対して、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ の準モジュラー形式として表される多インスタントン補正を再帰的に計算する手法を提供すること。
• 局在化技術を用いて、$A_r$ および $D_r$ 代数に対して微視的インスタントン計算と照合し、1インスタントンレベルで一致を確認すること。
• ADHM構成が利用できない $E_6$、$E_7$、$E_8$ のような例外的群に対しても、前汎関数計算の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• S-duality が前汎関数上でフーリエ変換として作用することを要請し、その結果得られるモジュラー異常方程式から、質量展開の係数を再帰的に関連付ける。
• 再帰関係を用いて、質量展開の順に前汎関数係数 $f_n$ を計算し、イーゼンスタイン級数および根系構造を用いて表現する。
• 複数の $q$-微分を含むモジュラー形式の項を整理するため、演算子 $\mathcal{D} = m^2 q \frac{d}{dq} = \frac{m^2}{2\pi i} \frac{d}{d\tau}$ を定義する。
• 前汎関数を、各々重み $2n$ のモジュラー形式である $\mathcal{A}_{(n)}$ 係数と、根格子和 $C_{k;\dots}$ を乗じた項の和として表現する。
• 等化局在化を用いて、$A_r$ および $D_r$ 代数に対して微視的インスタントン計算と照合し、1インスタントンレベルで一致を確認する。
• 根格子和の恒等式（例：レベル6でのもの）を用いて式を簡略化し、多インスタントン展開における一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微視的インスタントン計算が不可能な場合、例外的 ADE ゲージ群をもつ $\mathcal{N}=2^\star$ 理論の前汎関数はどのように計算できるか？
• RQ2 $\mathcal{N}=2^\star$ 理論における前汎関数の S-duality 不変性を符号化する、正確なモジュラー異常方程式の形は何か？
• RQ3 前汎関数の質量展開における係数 $f_n$ は、モジュラー形式および根系構造とどのように関係しているか？
• RQ4 S-duality およびモジュラー性質から、前汎関数の再帰的構造を体系的に導出できるか？
• RQ5 演算子 $\mathcal{D} = m^2 q \frac{d}{dq}$ は、多インスタントン寄与を整理する際に果たす役割は何か？

主な発見

• $\mathcal{N}=2^\star$ 理論における ADE ゲージ群の前汎関数は、S-duality から導かれる再帰的モジュラー異常方程式によって完全に決定される。
• 質量展開における係数 $f_n$ は、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ の準モジュラー形式として表現され、$\mathcal{A}_{(n)}$ は重み $2n$ のモジュラー形式である。
• 純粋な $\mathcal{N}=2$ 理論の1インスタントン前汎関数は、$E_6$、$E_7$、$E_8$ を含むすべての ADE ゲージ群で正しく再現される。
• 前汎関数の構造は、演算子 $\mathcal{D}$ を用いてコンパクトに再書き換え可能であり、項が $\sum_{\ell} \frac{1}{(\ell)!} \mathcal{D}^{\ell} \mathcal{A}_{(1)} \cdot C_{2;1^\ell}$ の形にまとめられ、$q$-係数 $-E_2/24$ が保存される。
• 局在化を用いた微視的インスタントン計算との照合において、$A_r$ および $D_r$ 代数に対して既知の結果を正確に再現する。
• ADHM構成が利用できない $E_6$、$E_7$、$E_8$ のような例外的群に対しても、多インスタントン補正を体系的に計算するフレームワークを提供する。