[論文レビュー] Shape dynamics and Mach's principles: Gravity from conformal geometrodynamics

Sean Gryb|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 73被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、時空不変性を局所的コンフォーマル不変性に置き換える一般相対性理論の再定式化として、形状力学を提案する。配置空間上でのベストマッチングを通じてマチン的原理から重力を導出し、時間の問題を解消した理論を構築する。主な結果は、時間の問題が存在せず、線形制約と構造定数を持つ理論であり、量子重力のための新たな基礎を提供するとともに、非局所的力学を通じてコンフォーマル場理論へ自然な接続をもたらす。

ABSTRACT

In this PhD thesis, we develop a new approach to classical gravity starting from Mach's principles and the idea that the local shape of spatial configurations is fundamental. This new theory, "shape dynamics", is equivalent to general relativity but differs in an important respect: shape dynamics is a theory of dynamic conformal 3-geometry, not a theory of spacetime. Equivalence is achieved by trading foliation invariance for local conformal invariance (up to a global scale). After the trading, what is left is a gauge theory invariant under 3d diffeomorphisms and conformal transformations that preserve the volume of space. The local canonical constraints are linear and the constraint algebra closes with structure constants. Shape dynamics, thus, provides a novel new starting point for quantum gravity. The procedure for the trading of symmetries was inspired by a technique called "best matching". We explain best matching and its relation to Mach's principles. The key features of best matching are illustrated through finite dimensional toy models. A general picture is then established where relational theories are treated as gauge theories on configuration space. Shape dynamics is then constructed by applying best matching to conformal geometry. We then study shape dynamics in more detail by computing its Hamiltonian and Hamilton-Jacobi functional perturbatively. This thesis is intended as a pedagogical but complete introduction to shape dynamics and the Machian ideas that led to its discovery. The reader is encouraged to start with the introduction, which gives a conceptual outline and links to the relevant sections in the text for a more rigorous exposition. When full rigor is lacking, references to the literature are given. It is hoped that this thesis may provide a starting point for anyone interested in learning about shape dynamics.

研究の動機と目的

• 空間形状の基本的役割とマチンの原理に基づく、新しい古典的重力理論の構築。
• フォリエーション不変性を局所的コンフォーマル不変性に置き換えることで、正準重力における時間の問題を解決すること。
• 3次元コンフォーマル幾何学のゲージ理論として、グローバルハミルトニアンを持つ理論を構築し、量子重力のための新たな出発点を提供すること。
• 非局所的力学を通じて、形状力学と境界コンフォーマル場理論との関係を確立すること。
• 配置空間上でのベストマッチングを通じて、関係的で背景に依存しない原理から重力が出現する枠組みを提供すること。

提案手法

• 空間幾何の間でベストマッチング手順を適用し、空間微分同相とコンフォーマル変換に関連する冗長自由度を同定・除去すること。
• 動的が1つのグローバルハミルトニアンによって生成される正準形式を構築し、一般相対性理論の局所的制約を置き換えること。
• フォリエーション不変性を局所的コンフォーマル不変性に交換する対称性の交換メカニズムを実装し、一般相対性理論と等価性を維持すること。
• ヤマベ問題を用いてコンフォーマル類を固定し、各コンフォーマル同値類内に一意の代表的計量が存在することを保証すること。
• 大体積展開とハミルトニアンの摂動的計算を行い、古典的極限と動的挙動を分析すること。
• 正準変換と制約伝播を通じて、形状力学と一般相対性理論の間の辞書を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 配置空間上での関係的動的およびベストマッチングを用いて、マチン的原理から重力理論を導出可能か？
• RQ2 時空不変性をコンフォーマル不変性に置き換えることで、正準重力における時間の問題をどのように解決できるか？
• RQ3 形状力学における非局所性の役割は何か？ また、古典的重力と量子重力の関係にどのように影響するか？
• RQ4 形状力学はコンフォーマル場理論とどのように関係するか？ 特にホログラフィーとRGフローの文脈で。
• RQ5 一般相対性理論に依存せずに、形状力学のハミルトニアンを一意に決定づける基本的原理を特定可能か？

主な発見

• 形状力学は一般相対性理論と同等であるが、動的コンフォーマル3次元幾何学として定式化されており、動的が1つのグローバルハミルトニアンによって生成される。
• フォリエーション不変性を局所的コンフォーマル不変性に交換することで、時間の問題が解消され、構造定数を持つより単純な制約代数が得られる。
• 形状力学の正準制約は線形であり、制約代数は構造定数で閉じており、一般相対性理論と比較して量子化が簡素化される。
• ハミルトニアンの摂動的解析により、一次のオーダーで一般相対性理論と一致し、古典的同等性が確認された。
• 動的な非局所性は、古典的同等性にもかかわらず、特にUV挙動や正則化において量子的差異の可能性を示唆している。
• この枠組みはホログラフィック双対性を探索する自然な設定を提供し、ハミルトニアンフローを通じて境界CFTにおけるRGフローへの可能性ある接続が示唆される。