[论文解读] Sheaves of Higher Categories and Presentations of Smooth Field Theories

Severin Bunk|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 6

一句话总结

该论文证明了，当赋予广义预拓扑时，取值于 $(\infty,n)$-范畴的更高层析函子可从范畴 $C$ 延拓至其自由共完备化 $\hat{C}$，且保持下降性质。关键结果是：沿 Yoneda 嵌入的 $\infty$-范畴右 Kan 扩张保持了层条件，从而可应用于光滑向量丛在微分空间上的理论以及包含完整微分同胚群结构的光滑 bordism 场论。

ABSTRACT

We study the extension of higher presheaves on a category $C$ to its free cocompletion $\hat{C}$. Here, higher presheaves take values in $\infty$-categories of $(\infty,n)$-categories, for any $n \in \mathbb{N}_0$. We first observe that any pretopology on $C$ induces a pretopology of generalised coverings on $\hat{C}$. Our main result is that the $\infty$-categorical right Kan extension along the Yoneda embedding $Y \colon C o \hat{C}$ preserves the descent property: given a pretopology on $C$, any higher sheaf on $C$ extends to a higher sheaf on $\hat{C}$ with the induced pretopology. Our proofs are performed using model categorical presentations of the relevant $\infty$-categories. We then present two applications of the main result in geometry and topology: first, we prove a descent property for smooth vector bundles on diffeological spaces. Diffeological spaces form a categorically well-behaved generalisation of manifolds, which includes many infinite-dimensional spaces. Our second application is to smooth bordism-type field theories on a manifold. Here, in contrast to TQFTs, diffeomorphism groups do not generally act through mapping class groups, and the smooth structure of diffeomorphism groups becomes relevant. We show how incorporating these data allows to construct smooth field theories on a manifold from generators and relations.

研究动机与目标

• 将范畴 $C$ 上的更高层析函子延拓至其自由共完备化 $\hat{C}$，同时保持层条件。
• 由 $C$ 上的预拓扑定义 $\hat{C}$ 上的广义预拓扑。
• 建立沿 Yoneda 嵌入的 $\infty$-范畴右 Kan 扩张保持更高层析函子的下降性质。
• 将该结果应用于微分空间上的光滑向量丛，其为包含无限维例子的流形的一般化。
• 通过引入完整的微分同胚群作用，构造流形上的光滑场论，而非仅使用映射类群。

提出的方法

• 使用模型范畴表述来处理 $(\infty,n)$-范畴的 $\infty$-范畴。
• 通过 Yoneda 嵌入，从 $C$ 上的预拓扑构造 $\hat{C}$ 上的广义覆盖预拓扑。
• 沿 Yoneda 嵌入 $Y: C \to \hat{C}$ 应用 $\infty$-范畴右 Kan 扩张。
• 证明该扩张保持更高层析函子的下降条件。
• 利用共完备化的普遍性质，将 $C$ 上的层结构提升至 $\hat{C}$。
• 将一般结果应用于具体几何设定：微分空间与光滑 bordism 场论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将范畴 $C$ 上的更高层析函子延拓至其自由共完备化 $\hat{C}$，同时保持层条件？
• RQ2 通过 Yoneda 嵌入，$C$ 上的预拓扑如何诱导 $\hat{C}$ 上的预拓扑？
• RQ3 沿 Yoneda 嵌入的 $\infty$-范畴右 Kan 扩张是否保持更高层析函子的下降性质？
• RQ4 该延拓机制能否用于构造尊重完整微分同胚群结构的流形上光滑场论？
• RQ5 该框架是否支持微分空间上光滑向量丛的下降性质？

主要发现

• 当 $\hat{C}$ 上赋予由诱导的预拓扑时，沿 Yoneda 嵌入的 $\infty$-范畴右 Kan 扩张保持了更高层析函子的下降性质。
• $C$ 上的预拓扑诱导出 $\hat{C}$ 上明确定义的广义覆盖预拓扑，从而在共完备化中支持层论。
• 该框架允许构造包含完整光滑微分同胚群结构的流形上光滑场论，而不仅限于其离散商群。
• 微分空间上的光滑向量丛满足下降性质，推广了经典流形理论。
• 该方法提供了一种系统化方式，通过生成元与关系呈现光滑场论，利用共完备化结构。
• 结果通过模型范畴技术建立，确保在 $\infty$-范畴设定下的稳健性。