[論文レビュー] Simulation of Anyons Using Symmetric Tensor Network Algorithms

Robert N. C. Pfeifer|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2012

Quantum many-body systems参考文献 92被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、アーベル的対称性技術を非アーベル的 anyon に一般化することで、非アーベル統計を示す特異な準粒子（anyon）系の効率的シミュレーションを可能にする対称的テンソルネットワーク形式を導入する。この手法により、フィボナッチ anyon を含む系における基底状態の多項式時間近似が可能となり、トポロジカルな量子相やバーニングを用いた普遍的量子計算の研究に強力なツールが提供される。

ABSTRACT

In this thesis I develop a formalism whereby a tensor network may be understood in terms of a unitary braided tensor category, and represented in a particularly efficient manner corresponding to the exploitation of this mathematical structure. This approach permits the exploitation of the global Abelian and non-Abelian internal group symmetries of a lattice model, both to facilitate the study of particular symmetry sectors and to provide a considerable reduction in computational cost. It also enables the study of models with non-trivial exchange statistics (fermions, Abelian and non-Abelian anyons) using tensor network algorithms which scale polynomially in the system size.

研究の動機と目的

• 符号問題の影響や効率的でない手法の欠如により、通常は困難である anyon 系のシミュレーションを可能にするテンソルネットワークアルゴリズムの拡張。
• アーベル的対称性技術（フェルミオンおよびボソン系で用いられるもの）を、ユニタリブレード付きテンソルカテゴリ Formalism を用いて非アーベル的 anyon に一般化すること。
• エンタングルメント構造を制御可能な、スケーラブルで効率的な基底状態近似アルゴリズムの開発。
• anyon 系におけるトポロジカル秩序およびバーニングを用いた普遍的量子計算の研究を可能にすること。
• アーベル的および非アーベル的対称性の取り扱いを、同一のテンソルネットワークフレームワーク内に統合すること。

提案手法

• ユニタリブレード付きテンソルカテゴリを用いて anyon テンソルネットワークを形式化し、anyon 統計および融合則を符号化する。
• anyon 演算子の行列表現を導入し、anyon 統計をテンソルネットワークの縮約に埋め込む。
• anyon 系に適した階層的構造を持つ anyonic MERA（マルチスケールエンタングルメントリノーマライゼーションアンザッツ）を構築する。
• 従来 U(1) や Z2 対称性に用いられてきた対称性保護型テンソルネットワーク技術を、フィボナッチ anyon のような非アーベル的 anyon に一般化する。
• MATLAB にこの形式を実装し、基底状態の数値計算および conformal データの抽出を可能にする。
• 基底状態のエンタングルメント構造を活用することで、低エンタングルメントの仮定の下で多項式時間スケーラビリティを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソルネットワークアルゴリズムは、非アーベル的統計を示す anyon 系を、効率的にシミュレートできるように一般化可能か？
• RQ2 アーベル的および非アーベル的対称性を、計算効率を向上させるためにテンソルネットワークアルゴリズムに体系的に統合する方法は何か？
• RQ3 anyon 基底状態のエンタングルメント構造は、MERA のようなテンソルネットワークアンザッツによってどの程度正確に捉えることができるか？
• RQ4 この形式は、フィボナッチ anyon のような系におけるトポロジカル秩序およびバーニング統計の研究に応用可能か？
• RQ5 anyon 系において、対称性の活用が非対称なシミュレーションと比較して、どの程度の性能向上をもたらすか？

主な発見

• 本稿では、フィボナッチ anyon などの非アーベル的 anyon を含む anyon 系を多項式時間でシミュレート可能な対称的テンソルネットワーク形式を成功裏に開発した。
• anyonic MERA アンザッツにより、anyon ハミルトニアンの基底状態の効率的近似が可能となり、第4.5.4節でフィボナッチ anyon モデルの数値的結果が計算され、プロットされた。
• アーベル的対称性の活用により、顕著な計算高速化が達成され、テンソルネットワークにおける Z2 対称性実装による最初の性能向上が実証された。
• 形式は、ボソン、フェルミオン、アーベル的 anyon、非アーベル的 anyon を統一的に取り扱うフレームワークを提供し、すべてのケースで対称性の活用が可能になる。
• 本手法により、anyon 系から conformal field theory データ（スケーリング次元、中心電荷、OPE係数）の抽出が可能となり、テンソルネットワークシミュレーションと連続的 CFT 述語の間の橋渡しを可能にする。
• 本フレームワークは一般性を備えており、ヘキサゴン方程式を満たさない非自明な統計を持つ1次元オープン鎖に対しても適用可能であるが、このような形式の物理的モデルはまだ知られていない。