[論文レビュー] Symmetry Groups of Principal Bundles Over Non-Compact Bases

Jakob Schuett|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、σ-コンパクトかつ非コンパクトな有限次元基底上に存在する主G束に対して、コンパクト台付きバンドル自己同型群 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ およびその部分群たるゲージ群 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ に厳密な無限次元リー群構造を確立する。$\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ は、コンパクト台付き微分同相群 $\mathrm{Diff}_{c}(M)$ の開部分群による $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ への非アーベルリー群拡張として構成され、弱直積による写像群の構造を用いてゲージ群がリー群構造を引き継ぐことを保証する新しい性質 $\text{SUB}_{\oplus}$ を導入する。

ABSTRACT

In this work, we describe how to obtain the structure of an infinite-dimensional Lie group on the group of compactly carried bundle automorphisms Autc(P) for a locally convex prinicpal bundle P over a finite-dimensional smooth sigma-compact base M. This is a generalization of previous work by Wockel, where the base M was compact. We first consider the Lie group structure on the group of compactly carried vertical bundle morphisms Gauc(P) (in both cases "compactly carried" refers to being compactly carried on the base in a certain sense). We then introduce the Lie group structure on Autc(P) as an extension of a certain open Lie subgroup of the compactly carried diffeomorphisms Diffc(M) by the gauge group Gauc(P). We find an explicit condition on P ensuring that Gauc(P) can be equipped with a Lie group structure enabling the extension just mentioned and show that this condition is satisfied by selected classes of bundles.

研究の動機と目的

• 非コンパクト基底上の主バンドルに対して、コンパクト台付きバンドル自己同型群 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ に自然な無限次元リー群構造を定義すること。
• ゲージ群 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ が、構造群 $G$ への写像群の弱直積への閉部分群として実現可能であることを示すこと。
• $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ が $\mathrm{Diff}_{c}(M)$ の開部分群による $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ への非アーベルリー群拡張として構成され、滑らかさ構造と整合することを確立すること。
• $\text{SUB}_{\oplus}$ 性質を導入し、弱直積の閉部分群が無限次元設定でリー群構造を引き継ぐための十分条件としての妥当性を検証すること。
• $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ のリー群構造が、自明化系や分割関数の選択に依存しないことを証明し、一貫性を保証すること。

提案手法

• 相対的にコンパクトで局所的に有限な自明化集合 $\overline{V}_i$ からなる $\bigoplus_{i\in\mathbb{N}} C^\infty(\overline{V}_i, \mathfrak{g})$ の直和に $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ をモデル化すること。
• 写像群の弱直積 $\prod^{\ast}_{i\in\mathbb{N}} C^\infty(\overline{V}_i, G)$ への $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ の閉部分群としての表現により、無限次元微積分の適用を可能にすること。
• $\text{SUB}_{\oplus}$ 性質を導入し、無限次元直和における閉部分群に対して部分多様体座標が存在することを保証するための $\text{SUB}$ 性質の一般化とすること。
• $\mathrm{Diff}_{c}(M)$ が $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ に作用する滑らかな因子系を定義することで、$\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ をリー群拡張として構成すること。
• リー群の座標と局所的自明化を用いた押し出しを用いて、写像空間および自己同型群上のグローバル座標を定義すること。
• 自明化系における遷移関数とパラメータの滑らかな依存性を含む明示的公式を用いて、移行写像の滑らかさを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト基底上の主バンドルのゲージ群 $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ に一貫性のある無限次元リー群構造を付与できるか？
• RQ2 弱直積の写像群の閉部分群が、どのような条件下でリー群構造を引き継ぐか？
• RQ3 $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ であるコンパクト台付きバンドル自己同型群が、$\mathrm{Diff}_{c}(M)$ による $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ への拡張として自然にリー群構造へ拡張可能か？
• RQ4 自明化系および分割関数の選択が、$\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ に与えるリー群構造にどのように影響するか？
• RQ5 局所的データと遷移関数を用いて、$\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ 上の群演算の滑らかさを検証できるか？

主な発見

• $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ は、弱直積 $\prod^{\ast}_{i\in\mathbb{N}} C^\infty(\overline{V}_i, G)$ の閉部分群としての群として同型であり、そのリー群構造の明示的モデルが得られる。
• $\text{SUB}_{\oplus}$ 性質が導入され、その十分性が証明され、無限次元設定における写像群の弱直積の閉部分群がリー群構造を引き継ぐことを保証する。
• $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ は、$\mathrm{Diff}_{c}(M)$ の開部分群による $\mathrm{Gau}_{c}(\mathcal{P})$ への非アーベルリー群拡張として一意にリー群構造を備え、明示的な遷移公式を用いて因子系の滑らかさが確認される。
• $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ に与えられるリー群構造は、自明化系や分割関数の選択に依存せず、同型を除いて一意的であり、一貫性が保証される。
• $\mathrm{Aut}_{c}(\mathcal{P})$ 上の恒等写像が異なる自明化系間で滑らかであることが確認され、構成の頑健性が裏付けられる。
• 本稿では、$\text{SUB}_{\oplus}$ 性質が成り立つ明示的条件が提供され、特に $\sigma$-コンパクト多様体上の多くの標準的クラスの主バンドルに対して成立することが示される。