[論文レビュー] Testing product states, quantum Merlin-Arthur games and tensor optimisation

Aram W. Harrow, Ashley Montanaro|Jan 4, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 73被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、入力状態の2つのコピーを用いて、積状態から著しく離れた状態と積状態を効率的に区別する量子テストを導入する。状態と最も近い積状態との重なりが $1 - \epsilon$ のとき、テストは確率 $1 - \Theta(\epsilon)$ で合格する。この結果、量子メルリンク・アーティスト（QMA）証明系およびテンソル最適化分野における重要な進展が可能になる。

ABSTRACT

We give a test that can distinguish efficiently between product states of n quantum systems and states which are far from product. If applied to a state psi whose maximum overlap with a product state is 1-epsilon, the test passes with probability 1-Theta(epsilon), regardless of n or the local dimensions of the individual systems. The test uses two copies of psi. We prove correctness of this test as a special case of a more general result regarding stability of maximum output purity of the depolarising channel. A key application of the test is to quantum Merlin-Arthur games with multiple Merlins, where we obtain several structural results that had been previously conjectured, including the fact that efficient soundness amplification is possible and that two Merlins can simulate many Merlins: QMA(k)=QMA(2) for k>=2. Building on a previous result of Aaronson et al, this implies that there is an efficient quantum algorithm to verify 3-SAT with constant soundness, given two unentangled proofs of O(sqrt(n) polylog(n)) qubits. We also show how QMA(2) with log-sized proofs is equivalent to a large number of problems, some related to quantum information (such as testing separability of mixed states) as well as problems without any apparent connection to quantum mechanics (such as computing injective tensor norms of 3-index tensors). As a consequence, we obtain many hardness-of-approximation results, as well as potential algorithmic applications of methods for approximating QMA(2) acceptance probabilities. Finally, our test can also be used to construct an efficient test for determining whether a unitary operator is a tensor product, which is a generalisation of classical linearity testing.

研究の動機と目的

• 与えられた量子状態が積状態であるか、すべての積状態から著しく離れているかを効率的に判定する量子テストの開発。
• 特に $k \geq 2$ の場合に $\mathsf{QMA}(k) = \mathsf{QMA}(2)$ が成り立つかどうかという、量子メルリンク・アーティスト（QMA(k)）証明系における未解決問題の解消。
• 量子計算複雑性理論と古典的テンソル最適化問題（例えば、インジェクティブ・テンソルノルムと分離可能性テスト）との間の関係の確立。
• デポラライジングチャネルの最大出力純度に対する安定性結果の確立。これは、積状態テストの正しさを裏付ける基盤である。
• 未エンタングルな証明（サイズ $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ ヒルベルト次元）を用いて、定数のサウンドネスで3-SATを検証する新しい量子アルゴリズムの実現。

提案手法

• 入力状態のすべての二部分割部分系の平均純度を推定するために、スワップテストに基づく2コピーの量子テストを設計する。
• テストの成功確率が、各部分系 $S$ における縮約状態 $\rho_S$ の純度 $\operatorname{tr}(\rho_S^2)$ の平均に等しいという事実を用いる。
• 平均純度が高ければ、グローバル状態が積状態に近いことを、デポラライジングチャネル出力純度の安定性バインディングを用いて証明する。
• QMA(2)への応用において、2人のメルリンが任意の数のメルリンをシミュレートできることを示し、テストが証明内のエンタングルメントを検出できる能力を活用する。
• 積状態テストと3インデックステンソルのインジェクティブ・テンソルノルムとの関係を確立し、logサイズの証明を用いたQMA(2)が、このクラスの問題を表現可能であることを示す。
• テストを用いて、ユニタリ演算子に対する量子線形性テストを構築し、古典的線形性テストを量子設定に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのコピーのみを用いて、量子状態が積状態であるか、すべての積状態から著しく離れているかを効率的にテストできるか？
• RQ2 すべての二部分割における平均的なもつれ具合と、グローバル状態が積状態に近いかどうかの関係は何か？
• RQ3 積状態テストを用いて、すべての $k \geq 2$ に対して $\mathsf{QMA}(k) = \mathsf{QMA}(2)$ を証明できるか？
• RQ4 積状態テストは、3インデックステンソルのインジェクティブ・テンソルノルムの計算といった古典的問題とどのように関係するか？
• RQ5 テストを一般化して、ユニタリ演算子が局所ユニタリのテンソル積であるかどうかを検証できるか？

主な発見

• 入力状態と最も近い積状態との重なりが $1 - \epsilon$ のとき、テストは $n$ や局所次元に依存せずに確率 $1 - \Theta(\epsilon)$ で合格する。
• テストにより、すべての $k \geq 2$ に対して $\mathsf{QMA}(k) = \mathsf{QMA}(2)$ が成立することが確立され、量子計算複雑性理論における長年の予想が解決された。
• 3-SATを定数のサウンドネスで検証する効率的量子アルゴリズムが存在し、証明サイズは $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ ヒルベルト次元の未エンタングル証明を用いる。
• logサイズの証明を用いたQMA(2)は、3インデックステンソルのインジェクティブ・テンソルノルムの計算問題と同値であり、近似困難性の結果を示唆する。
• テストにより、ユニタリ演算子が局所ユニタリのテンソル積であるかどうかを検証する新しい手法が提供され、古典的線形性テストを量子設定に一般化した。
• 主な結果は、最大積状態との重なりが、すべての積状態部分系における平均二乗重なりでよく近似されることを示す、ガウワー一様性ノルムの逆定理の量子アナロジーと解釈できる。