[論文レビュー] The Brezis-Nirenberg problem for the fractional $p$-Laplacian involving critical Hardy-Sobolev exponents

Yang Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 54被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、臨界的ハーディー＝ソボレフ指数を伴う分数階 $p$-ラプラシアン方程式に対して、非自明な解の存在、多重性、および分岐を確立し、古典的なブレジス＝ニレングェルクの結果を非局所的かつ重み付き設定に拡張する。[37]からの漸近的推定値を用いて明示的な最小化子の欠如を克服することで、$N$, $p$, $s$, $\alpha$, および $\lambda$ のさまざまな条件下での複数の解の存在を証明し、固有値における分岐を含む。

ABSTRACT

We obtain existence, multiplicity, and bifurcation results for the Brezis-Nirenberg problem for the fractional $p$ obreakdash-Laplacian operator, involving critical Hardy-Sobolev exponents. Our results are mainly extend results in the literature for $α=0$. In the absence of an explicit formula for a minimizer in the fractional Hardy-Sobolev inequality $α ot= 0$, we get around this difficulty by working with certain asymptotic estimates for minimizers recently obtained in \cite{MM}.

研究の動機と目的

• 臨界的ハーディー＝ソボレフ指数を伴い、特異的重み $|x|^{-\alpha}$ を含む分数階 $p$-ラプラシアン問題への古典的ブレジス＝ニレングェルク問題の拡張を目的とする。
• 明示的な最小化子が存在しない $\alpha \neq 0$ の場合に、問題の非自明な弱解の存在と多重性を確立すること。
• 最近のマラノら[37]による漸近的推定値を用いて、鋭い分数階ハーディー＝ソボレフ不等式の最小化子の明示的公式の欠如に起因する課題を克服すること。
• 領域 $\Omega$ に対する幾何的および正則性条件の下で、固有値 $\lambda_k$ における分岐結果を証明すること。
• $\alpha = 0$ の既知の結果を、臨界的重み付きケースに一般化するために、変分法およびコhomologicalインデックス法を用いること。

提案手法

• エネルギー汎関数 $I_\lambda$ を定義するために、Gagliardo半ノルムをノルムとする空間 $W^{s,p}_0(\Omega)$ の変分的枠組みを用いる。
• コhomologicalインデックスおよび擬似インデックスに基づく抽象的臨界点理論を適用し、エネルギー汎関数の複数の非自明な臨界点を検出する。
• 最近[37]で得られた分数階ハーディー＝ソボレフ不等式の最小化子の漸近的推定値を用いて、$\alpha \neq 0$ 時に明示的最小化子が存在しないという欠如を補う。
• エネルギー汎関数が臨界的エネルギー範囲内でパラ・サイモン条件を満たすことを確立し、変分的枠組みにおけるコンパクト性を保証する。
• リンク定理および変形論的議論を用いて臨界点を構成し、特に $\lambda$ が固有値 $\lambda_k$ に近いか等しい場合のケースを扱う。
• ホルダーの不等式およびノルム推定値を用いて、エネルギー汎関数およびその導関数における非線形項 $|u|^{p_s^*(\alpha)-2}/|x|^\alpha$ を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界的ハーディー＝ソボレフ指数および特異的重み $|x|^{-\alpha}$ を伴う分数階 $p$-ラプラシアン問題は、$\alpha \neq 0$ のとき非自明な弱解をもつか？
• RQ2 分数階ハーディー＝ソボレフ不等式の明示的最小化子の欠如が、解の存在および多重性にどのように影響するか？
• RQ3 重み付き臨界ケースにおいて、固有値 $\lambda_k$ における分岐が生じるか？また、そのような分岐は領域 $\Omega$ のどのような幾何的条件下で成立するか？
• RQ4 $N$, $p$, $s$, $\alpha$ の正確な条件は何か？ それらが複数の解の存在を保証するか？
• RQ5 最小化子の漸近的性質は、変分的枠組みにおける下界および上界解の構成にどのように影響するか？

主な発見

• $N \geq sp^2$ かつ $\lambda < \lambda_1$ のとき、問題は少なくとも一つの非自明な弱解をもつ。これは古典的ブレジス＝ニレングェルク結果を重み付きケースに拡張する。
• $N > sp^2$ かつ $\lambda$ が任意の固有値 $\lambda_k$ に等しくないとき、特異的重み $|x|^{-\alpha}$ が存在しても、問題は少なくとも一つの非自明な解をもつ。
• $N^2/(N+s) > sp^2$ のとき、問題は非自明な解をもつ。これは $\alpha = 0$ の場合に既知の条件を一般化する。
• $[N^2(N-\alpha) + s^3p^3 + \alpha sp(N-sp)]/[N(N+s-\alpha)] > sp^2$ および $\partial\Omega \in C^{1,1}$ の条件下で、$\lambda = \lambda_k$ のとき問題は非自明な解をもつ。
• $\lambda < \lambda_{k+1}$ のとき、本稿では $m$ 個の異なる非自明な解の対 $\pm u_j^\lambda$ の存在を証明し、$\lambda \nearrow \lambda_{k+1}$ のとき $I_\lambda(u_j^\lambda) \to 0$ となることを示しており、固有値における分岐を示している。
• $\lambda \to \lambda_{k+1}^{-}$ のとき、解は $\|u_j^\lambda\| \to 0$ および $|u_j^\lambda|_{p_s^*(\alpha)} \to 0$ を満たし、$W^{s,p}_0(\Omega)$ および $L^{p_s^*(\alpha)}(\Omega)$-ノルムの両方においてゼロに収束することが確認される。