[論文レビュー] The Chern classes of the Verlinde bundles

Alina Marian, Dragos Oprea+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$g \geq 2$ の種数の安定曲線のモジュライ空間上でのVerlindeバンドルの1番目のチャーン類について閉形式の公式を導出し、$\mu(\mathbb{V}_{r,k}) = \frac{r(k^2 - 1)}{2(k + r)}\lambda$ が成り立つことを確立している。ここで $\lambda$ はホッジ類である。この結果は、ランク2における有限次元的幾何を用いて、レベルランク双対性や射影的平坦性といった対称性を用いて証明され、以降、 conformal block理論と融合規則による境界拡張を用いて高ランクへと拡張されている。

ABSTRACT

A formula for the first Chern class of the Verlinde bundle over the moduli space of smooth genus g curves is given. A finite-dimensional argument is presented in rank 2 using geometric symmetries obtained from strange duality, relative Serre duality, and Wirtinger duality together with the projective flatness of the Hitchin connection. A derivation using conformal-block methods is presented in higher rank. An expression for the first Chern class over the compact moduli space of curves is obtained.

研究の動機と目的

• 滑らかな種数 $g$ の曲線のモジュライ空間 $\mathcal{M}_g$ 上での Verlinde バンドル $\mathbb{V}_{r,k}$ の1番目のチャーン類を特定すること。
• レベルランク双対性、相対的セレール双対性、ウィーリング双対性といった対称性を用いて、ランク2における Verlinde 傾き公式の有限次元的幾何的証明を確立すること。
• conformal block理論を用いて公式を高ランクへと拡張し、境界制限を用いた融合規則による $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上での一貫性を検証すること。
• 融合規則と境界制限写像の単射性を用いて、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ のすべての境界 divisor 上での傾き表現を確認すること。

提案手法

• 相対的レベルランク双対性を用いて、$s_{r,k}$ と $s_{k,r}$ を関連付ける関数方程式を導出し、$s_{r,k} + s_{k,r} = \frac{kr - 1}{2}$ を得る。
• \mathcal{SU}_g(r, \mathcal{O}) \to \mathcal{M}_g$ のファイバーに沿う相対的セレール双対性を適用して、$s_{r,k} + s_{r,-k-2r} = -2r^2$ という恒等式を導出する。
• 初期条件 $\mu(\mathbb{V}_{1,k}) = \frac{k-1}{2}\lambda$ と $\mu(\mathbb{V}_{r,0}) = -\frac{1}{2}\lambda$ を用いて正規化を固定する。
• Verlinde バンドルの射影的平坦性を活用して、ランク2の場合の問題を関数方程式系の解法に還元する。
• 高ランクにおける傾き公式を導出するために、conformal block理論とコアクアのバンドル上でのアティヤ代数の作用を利用する。
• [TUY] からの融合規則を適用して、境界 divisor への Verlinde バンドルの引き戻しを計算し、$\Psi_i$ と $\delta_{\text{irr}}$ の係数を一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュライ空間 $\mathcal{M}_g$ 上での Verlinde バンドル $\mathbb{V}_{r,k}$ の1番目のチャーン類の明確な表現は何か？
• RQ2 レベルランク双対性や相対的セレール双対性といった幾何的対称性は、ランク2における Verlinde 傾きにどのように制約を加えるか？
• RQ3 Verlinde 傾き公式は、開モジュライ空間からコンパクト化モジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ へと拡張可能か？
• RQ4 Verlinde バンドルの境界 divisor への制限における振る舞いは何か？ そして融合規則は境界補正をどのように決定するか？
• RQ5 conformal block のアプローチは、有限次元的幾何的手法と同一の傾き公式をもたらすか？ また、整数性は正規化を固定するためにどのように使われるか？

主な発見

• Verlinde バンドル $\mathbb{V}_{r,k}$ の1番目のチャーン類は、$\mu(\mathbb{V}_{r,k}) = \frac{r(k^2 - 1)}{2(k + r)}\lambda$ で与えられ、ここで $\lambda$ はホッジバンドルの1番目のチャーン類である。
• ランク2では、傾き公式 $\mu(\mathbb{V}_{2,k}) = \frac{k^2 - 1}{k + 2}\lambda$ が、レベルランク双対性、相対的セレール双対性、初期条件、射影的平坦性の4つの対称性によって完全に決定される。
• 公式はコンパクト化モジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ へと拡張され、境界補正は conformal block の融合規則と一致する。
• $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上でのコアクアのバンドル $\mathcal{B}_{g,\underline{\mu}}$ の傾きは $\frac{k(r^2 - 1)}{2(r + k)}\lambda + \sum_{i=1}^n \mathsf{w}_{\mu_i}\Psi_i - c_{\text{irr}}\delta_{\text{irr}} - \cdots$ であり、係数は融合規則によって決定される。
• $g \geq 3$ のとき、$H^2(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}) \to H^2(\overline{\mathcal{M}}_{g-1,n+2})$ の境界制限写像は単射であり、これにより公式の帰納的検証が可能である。
• 既知の結果と融合規則の整合性を用いて、$(g,n) = (0,4), (0,5), (1,1), (1,2)$ の低種数の場合に直接的に公式が検証されている。