[論文レビュー] The commuting local Hamiltonian on locally-expanding graphs is in NP

Dorit Aharonov, Lior Eldar|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 36被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、局所的に拡張するグラフ上の可換局所ハミルトニアン（CLH）問題が、εがグラフの最適な局所拡張からの逸脱を測る場合、追加誤差O(ε)で ground energy を近似するとき、NPに属することを示している。この結果は、修正されたDinur風のギャップ拡大とアルファベットサイズの縮小に依存しており、強い局所的拡張が量子計算の難易度を抑制し、問題を古典的NP完全性に還元するが、NP困難性を保ち続けることを示している。

ABSTRACT

The local Hamiltonian problem is famously complete for the class QMA, the quantum analogue of NP. The complexity of its semi-classical version, in which the terms of the Hamiltonian are required to commute (the CLH problem), has attracted considerable attention recently due to its intriguing nature, as well as in relation to growing interest in the qPCP conjecture. We show here that if the underlying bipartite interaction graph of the CLH instance is a good locally-expanding graph, namely, the expansion of any constant-size set is e-close to optimal, then approximating its ground energy to within additive factor O(e) lies in NP. The proof holds for k- local Hamiltonians for any constant k and any constant dimensionality of particles d. We also show that the approximation problem of CLH on such good local expanders is NP-hard. This implies that too good local expansion of the interaction graph constitutes an obstacle against quantum hardness of the approximation problem, though it retains its classical hardness. The result highlights new difficulties in trying to mimic classical proofs (in particular Dinur's PCP proof) in an attempt to prove the quantum PCP conjecture. A related result was discovered recently independently by Brandao and Harrow, for 2-local general Hamiltonians, bounding the quantum hardness of the approximation problem on good expanders, though no NP-hardness is known in that case.

研究の動機と目的

• 可換局所ハミルトニアン（CLH）問題の複雑さを明確にすること、特に量子PCP予想との関係において。
• CLHインスタンスの相互作用グラフにおける強い局所的拡張が、量子計算の難易度を低下させるかどうかを調査すること。
• このような拡張条件の下で、CLH問題が依然として困難なままであるか、あるいはNPに属する解ける問題に変わるかを特定すること。
• グラフの拡張性質とハミルトニアン近似の古典的・量子的複雑さとの間の関係を確立すること。

提案手法

• DinurのPCP証明技法を適応し、下限が定数C₀であるようなギャップが保証された3局所CSPを構築する。
• ロングコード符号化と整合性制約を用いてアルファベットサイズを縮小しながらギャップを保ち、Dinurのロングコードテストの修正版を適用する。
• CSPから3局所ハミルトニアンを構築し、相互作用グラフの局所的拡張がεの範囲で最適に近いようにする。アルファベットサイズを二重指数関数的に大きくすることで、拡張誤差を制御する。
• 任意の定数サイズの集合Sについての拡張誤差がO(1/L)で抑えられることを示し、Lを適切に選ぶことでこれがε未満になるようにパラメータを調整する。
• 定数深さの量子回路を介して古典的証明者を構築することで、結果のCLHインスタンスがNPに属することを証明する。
• このような拡張グラフ上での近似問題のNP困難性を示し、NP完全性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換局所ハミルトニアンインスタンスの相互作用グラフにおける強い局所的拡張は、その量子複雑度をNPに低下させるか？
• RQ2 DinurのPCP技法を量子設定に適応させることで、拡張グラフ上のCLHがNPに属することを示せるか？
• RQ3 局所的拡張とCLH問題における量子ハードネスの抑制の関係は何か？
• RQ4 局所的に拡張するグラフ上のCLHの近似問題は、NPかつNP困難であるため、NP完全性を示すか？
• RQ5 アルファベットサイズとロングコード構成の選択が、得られるハミルトニアンにおける局所的拡張誤差にどのように影響するか？

主な発見

• 局所的に拡張するグラフでε-局所的拡張を示す可換局所ハミルトニアン問題は、O(ε)の近似誤差でNPに属する。
• このようなグラフ上でも近似問題はNP困難のままであり、この条件下で問題がNP完全であることが示唆される。
• 証明は、修正されたDinur風のギャップ拡大とアルファベットサイズの縮小に依存しており、二重指数関数的アルファベットサイズを用いて拡張誤差を制御する。
• 任意の定数サイズの集合についての拡張誤差はO(1/L)で抑えられ、パラメータを適切に選ぶことでこれより小さくなる。
• この結果は、あまりに良い局所的拡張が、量子計算の難易度を妨げる要因となることを示しており、それでも古典的困難性は維持される。
• BrandãoとHarrowによる2局所ハミルトニアンに関する類似結果も独立に発見されたが、その場合ではNP困難性は知られていない。