[论文解读] The Complexity of Testing Properties of Simple Games

Josep Freixas, Xavier Molinero+2 more|ArXiv.org|Mar 4, 2008

Artificial Intelligence in Games参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文分析了在简单博弈中转换和测试性质的计算复杂性，这是一种用于是/否投票系统的形式化。研究表明，从一种显式表示（如获胜、最小获胜、失败、最大失败联盟）转换到另一种表示，某些组合是多项式时间可解的，而另一些则是指数时间；而测试简单性、加权性以及诸如强度、决定性等结构性质，则取决于表示方式，其复杂性为 co-NP 完全或多项式时间。主要贡献在于对多种博弈表示和性质的全面复杂性分类。

ABSTRACT

Simple games cover voting systems in which a single alternative, such as a bill or an amendment, is pitted against the status quo. A simple game or a yes-no voting system is a set of rules that specifies exactly which collections of ``yea'' votes yield passage of the issue at hand. A collection of ``yea'' voters forms a winning coalition. We are interested on performing a complexity analysis of problems on such games depending on the game representation. We consider four natural explicit representations, winning, loosing, minimal winning, and maximal loosing. We first analyze the computational complexity of obtaining a particular representation of a simple game from a different one. We show that some cases this transformation can be done in polynomial time while the others require exponential time. The second question is classifying the complexity for testing whether a game is simple or weighted. We show that for the four types of representation both problem can be solved in polynomial time. Finally, we provide results on the complexity of testing whether a simple game or a weighted game is of a special type. In this way, we analyze strongness, properness, decisiveness and homogeneity, which are desirable properties to be fulfilled for a simple game.

研究动机与目标

• 分析将简单博弈从一种显式表示形式转换为另一种表示形式的计算复杂性。
• 对给定特定表示形式时，判断简单博弈是否为加权博弈的复杂性进行分类。
• 确定验证简单博弈的结构性质（如强度、适当性、决定性、同质性）的复杂性。
• 提供基于四种自然表示形式的系统性复杂性分类：获胜联盟、最小获胜联盟、失败联盟和最大失败联盟。
• 通过分析显式表示和紧凑表示中的复杂性，扩展先前关于加权博弈的研究。

提出的方法

• 通过四种显式形式表示简单博弈：获胜联盟、最小获胜联盟、失败联盟和最大失败联盟。
• 使用布尔公式紧凑表示博弈族，通过从 NP 完全问题的约化实现复杂性分析。
• 通过将单调性和可满足性问题约化为测试简单性和非最小性/非最大性，证明 co-NP 完全性。
• 通过包含关系和最小性/最大性检查分析不同表示之间的转换，表明某些转换为多项式时间，而另一些则为指数时间。
• 利用 SAT 及其变体的约化，证明在紧凑形式中识别非最小或非最大集合的 co-NP-难性。
• 借助关于博弈维数和权力指数的已知结果，为复杂性发现提供上下文背景。

实验结果

研究问题

• RQ1 从一种显式表示形式（如获胜联盟）转换为另一种形式（如最小获胜联盟）的计算复杂性是什么？
• RQ2 是否可以在多项式时间内判断以四种形式之一表示的博弈是否为加权博弈或简单博弈？
• RQ3 在给定博弈表示形式下，确定简单博弈是否具有强度、适当性、决定性或同质性等性质的复杂性如何？
• RQ4 当使用紧凑的布尔表示而非显式列表时，测试结构性质的复杂性如何变化？
• RQ5 当博弈以最小获胜形式或最大失败形式给出时，判断博弈是否为决定性（或多数）博弈的问题是否为 co-NP 完全？

主要发现

• 从获胜联盟转换为最小获胜联盟，或从失败联盟转换为最大失败联盟，可在多项式时间内完成。
• 从最小获胜联盟转换为获胜联盟，或从最大失败联盟转换为失败联盟，在最坏情况下需要指数时间。
• 当博弈通过紧凑布尔公式表示时，测试博弈是否为简单博弈（即单调性）是 co-NP 完全的。
• 无论使用何种显式表示形式，测试博弈是否为加权博弈均可在多项式时间内求解。
• 当使用紧凑表示时，测试强度、适当性、同质性和决定性等性质为 co-NP 完全。
• 当博弈以最小获胜或最大失败形式给出时，判断博弈是否为多数（等价于决定性）博弈的问题被推测为 co-NP 完全。